Номер 13, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 13, страница 121.

Условие.

16.13. Радиус описанного около конуса шара равен $R$. Образующую конуса видно из центра этого шара под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания конуса, а $l$ — его образующая. Наша задача — найти $r$ и $l$ через известные величины: радиус описанного шара $R$ и угол $\alpha$.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), вписанный в большую окружность шара радиуса $R$. Пусть $V$ — вершина конуса, $O$ — центр шара, а $A$ — точка на окружности основания конуса. Тогда точки $V$ и $A$ лежат на поверхности шара.

Рассмотрим треугольник $AOV$. Его стороны $OA$ и $OV$ являются радиусами шара, поэтому $OA = OV = R$. Сторона $AV$ является образующей конуса, то есть $AV = l$. По условию, образующую конуса видно из центра шара под углом $\alpha$, что означает $\angle AOV = \alpha$.

Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник $AOV$ со сторонами $R$, $R$ и углом $\alpha$ между ними.

1. Нахождение образующей $l$.
Применим теорему косинусов для треугольника $AOV$ для нахождения стороны $l = AV$:$l^2 = OA^2 + OV^2 - 2 \cdot OA \cdot OV \cdot \cos(\angle AOV)$$l^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos\alpha = 2R^2(1 - \cos\alpha)$Используя тригонометрическую формулу $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:$l^2 = 2R^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4R^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$Отсюда находим $l$:$l = \sqrt{4R^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = 2R\sin(\frac{\alpha}{2})$

2. Нахождение радиуса основания $r$.
Радиус основания конуса $r$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на ось конуса, которая проходит через точки $O$ и $V$. То есть, $r$ является высотой треугольника $AOV$, проведенной из вершины $A$ к стороне $OV$.Площадь треугольника $AOV$ можно вычислить двумя способами:

• Через две стороны и угол между ними: $S_{\triangle AOV} = \frac{1}{2} OA \cdot OV \sin(\angle AOV) = \frac{1}{2}R^2\sin\alpha$
• Через основание $OV$ и высоту $r$: $S_{\triangle AOV} = \frac{1}{2} OV \cdot r = \frac{1}{2}R r$

Приравнивая эти два выражения для площади, получим:$\frac{1}{2}R r = \frac{1}{2}R^2\sin\alpha$$r = R\sin\alpha$

3. Вычисление площади боковой поверхности конуса.
Подставим найденные выражения для $r$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности:$S_{бок} = \pi r l = \pi (R\sin\alpha) \left(2R\sin\frac{\alpha}{2}\right) = 2\pi R^2 \sin\alpha \sin\frac{\alpha}{2}$Для более компактного вида воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:$S_{бок} = 2\pi R^2 \left(2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right) \sin\frac{\alpha}{2} = 4\pi R^2 \sin^2\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}$

Ответ: $4\pi R^2 \sin^2\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}$