Номер 17, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 17, страница 122.

Условие.

те радиус шара, вписанного в данный конус.

16.17. В конус с образующей $b$ и углом $\alpha$ при вершине осевого сечения вписан шар. Найдите радиус шара.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение шара — окружность, вписанную в этот треугольник. Радиус этой окружности равен радиусу $r$ искомого шара.

Пусть осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник $SAB$ с вершиной $S$. Боковые стороны $SA$ и $SB$ являются образующими конуса, следовательно, их длина равна $b$. Угол при вершине треугольника $\angle ASB = \alpha$. Высота $SH$, опущенная на основание $AB$, является осью конуса и биссектрисой угла $\alpha$. Таким образом, угол $\angle ASH = \frac{\alpha}{2}$.

Центр вписанного шара, точка $O$, лежит на высоте $SH$. Так как шар касается основания конуса, расстояние от центра $O$ до основания равно радиусу шара, то есть $OH = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAH$. В нем гипотенуза $SA = b$, а угол $\angle ASH = \frac{\alpha}{2}$. Длина высоты конуса $SH$ равна:
$SH = SA \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) = b \cos(\frac{\alpha}{2})$.

Расстояние от вершины конуса $S$ до центра шара $O$ можно выразить как разность длин отрезков $SH$ и $OH$:
$SO = SH - OH = b \cos(\frac{\alpha}{2}) - r$.

Теперь рассмотрим треугольник $SOK$, где $K$ — точка касания шара и образующей $SA$. Радиус $OK$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной $SA$. Следовательно, треугольник $SOK$ является прямоугольным ($\angle SKO = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $OK = r$, гипотенуза — $SO$, а угол при вершине $S$ равен $\angle OSK = \frac{\alpha}{2}$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике $SOK$ следует:
$\sin(\angle OSK) = \frac{OK}{SO} \implies \sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{SO}$.

Подставим в это равенство найденное ранее выражение для $SO$:
$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{b \cos(\frac{\alpha}{2}) - r}$.

Решим полученное уравнение относительно $r$:
$\sin(\frac{\alpha}{2}) \cdot (b \cos(\frac{\alpha}{2}) - r) = r$
$b \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) - r \sin(\frac{\alpha}{2}) = r$
$b \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) = r + r \sin(\frac{\alpha}{2})$
$b \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) = r(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))$
$r = \frac{b \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $r = \frac{b \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}$.