Номер 3, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 3, страница 121.

Условие.

16.3. Осевое сечение конуса является прямоугольным треугольником, а диаметр основания конуса равен 10 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Пусть $S$ — вершина конуса, а $AB$ — диаметр его основания. Тогда осевым сечением является треугольник $\triangle ASB$, где $SA$ и $SB$ — образующие конуса. Следовательно, $SA = SB$.

По условию задачи, осевое сечение является прямоугольным треугольником. Поскольку треугольник $\triangle ASB$ равнобедренный, прямой угол может быть только при вершине $S$, то есть $\angle ASB = 90^\circ$. В этом случае стороны $SA$ и $SB$ являются катетами, а диаметр основания $AB$ — гипотенузой этого треугольника.

Диаметр основания конуса равен 10 см, значит, длина гипотенузы $AB = 10$ см.

Сфера, описанная около конуса, проходит через его вершину $S$ и все точки окружности основания, включая точки $A$ и $B$. Таким образом, треугольник $\triangle ASB$ вписан в большое сечение сферы, которое является окружностью. Радиус этой окружности равен радиусу описанной сферы.

Задача сводится к нахождению радиуса окружности, описанной около прямоугольного треугольника $\triangle ASB$.

Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине длины гипотенузы.

Пусть $R$ — радиус описанной сферы. Тогда:$R = \frac{AB}{2}$

Подставляем известное значение длины гипотенузы $AB$:$R = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.