Номер 8, страница 120 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 8, страница 120.

Условие.

8. Какая точка является центром сферы, вписанной в цилиндр?

Решение 1.

Решение 3.

Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его верхнего и нижнего оснований, а также его боковой поверхности. Чтобы найти центр такой сферы, необходимо рассмотреть условия касания.

Во-первых, поскольку сфера касается двух параллельных плоскостей оснований цилиндра, ее центр должен быть равноудален от этих плоскостей. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух параллельных плоскостей, — это плоскость, параллельная им и расположенная ровно посередине между ними. Расстояние от центра сферы до каждого из оснований равно радиусу сферы $R_{сферы}$. Следовательно, высота цилиндра $H_{цилиндра}$ должна быть равна диаметру сферы: $H_{цилиндра} = 2R_{сферы}$.

Во-вторых, сфера касается боковой поверхности цилиндра по окружности. Это означает, что расстояние от центра сферы до любой точки на этой окружности касания должно быть равно радиусу сферы. Центр сферы должен быть равноудален от всех образующих цилиндра, а геометрическим местом таких точек является ось цилиндра. Таким образом, центр вписанной сферы должен лежать на оси цилиндра. Расстояние от оси до боковой поверхности равно радиусу основания цилиндра $R_{цилиндра}$, и оно должно быть равно радиусу сферы: $R_{цилиндра} = R_{сферы}$.

Объединяя оба условия, получаем, что центр вписанной сферы — это точка, которая одновременно лежит на оси цилиндра и на плоскости, проходящей посередине между его основаниями. Такой точкой является середина отрезка оси цилиндра, соединяющего центры его оснований.

Ответ: Центром сферы, вписанной в цилиндр, является середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра (иначе говоря, середина оси цилиндра).