Номер 3, страница 120 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 3, страница 120.

Условие.

3. Чему равен радиус сферы, описанной около цилиндра?

Решение 1.

Решение 3.

Для того чтобы найти радиус сферы, описанной около цилиндра, необходимо связать его с параметрами самого цилиндра: радиусом его основания $r$ и высотой $h$.

Сфера считается описанной около цилиндра, если обе окружности оснований цилиндра лежат на поверхности сферы. Центр такой сферы будет совпадать с центром симметрии цилиндра, то есть с серединой его оси (высоты).

Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$. Осевое сечение сферы — это окружность (большая окружность сферы) с радиусом $R$. При этом прямоугольник (сечение цилиндра) будет вписан в окружность (сечение сферы).

Чтобы найти радиус сферы $R$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный:

• радиусом сферы $R$ (гипотенуза) — это отрезок, соединяющий центр сферы с любой точкой на окружности основания цилиндра;
• радиусом основания цилиндра $r$ (один катет);
• половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$ (второй катет) — это расстояние от центра сферы до плоскости основания цилиндра.

Применим к этому треугольнику теорему Пифагора:

$R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$

Упрощая выражение, получаем:

$R^2 = r^2 + \frac{h^2}{4}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим искомую формулу для радиуса описанной сферы:

$R = \sqrt{r^2 + \frac{h^2}{4}}$

Ответ: Радиус сферы, описанной около цилиндра, равен $R = \sqrt{r^2 + \frac{h^2}{4}}$, где $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.