Номер 25, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 25, страница 116.

Условие.

15.25. Найдите площадь параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см и одна из них перпендикулярна стороне.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а диагонали — $d_1 = 16$ см и $d_2 = 20$ см.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Это свойство можно выразить формулой:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим известные значения длин диагоналей в эту формулу:

$16^2 + 20^2 = 2(a^2 + b^2)$

$256 + 400 = 2(a^2 + b^2)$

$656 = 2(a^2 + b^2)$

$a^2 + b^2 = 328$

По условию задачи одна из диагоналей перпендикулярна стороне. Пусть это будет диагональ $d_k$, перпендикулярная стороне $a$. Тогда сторона $a$, диагональ $d_k$ и другая сторона $b$ образуют прямоугольный треугольник, в котором сторона $b$ является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора:

$b^2 = a^2 + d_k^2$

Рассмотрим два возможных случая, чтобы определить, какая именно диагональ перпендикулярна стороне.

Случай 1: Меньшая диагональ ($d_k = 16$ см) перпендикулярна стороне $a$.

Тогда $b^2 = a^2 + 16^2 = a^2 + 256$.

Подставим это выражение в ранее полученное уравнение $a^2 + b^2 = 328$:

$a^2 + (a^2 + 256) = 328$

$2a^2 = 328 - 256$

$2a^2 = 72$

$a^2 = 36$

$a = 6$ см. Это значение является действительным.

Случай 2: Большая диагональ ($d_k = 20$ см) перпендикулярна стороне $a$.

Тогда $b^2 = a^2 + 20^2 = a^2 + 400$.

Подставим это выражение в уравнение $a^2 + b^2 = 328$:

$a^2 + (a^2 + 400) = 328$

$2a^2 = 328 - 400$

$2a^2 = -72$

$a^2 = -36$. Квадрат длины стороны не может быть отрицательным числом, следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, мы установили, что одна из сторон параллелограмма равна $a = 6$ см, и к ней перпендикулярна диагональ длиной 16 см.

Площадь параллелограмма $(S)$ вычисляется по формуле $S = \text{основание} \times \text{высота}$. В качестве основания возьмем сторону $a = 6$ см. Поскольку диагональ длиной 16 см перпендикулярна этой стороне, она является высотой параллелограмма, проведенной к этому основанию ($h = 16$ см).

$S = a \cdot h = 6 \cdot 16 = 96$ см².

Ответ: 96 см².