Номер 22, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 22, страница 116.

Условие.

15.22. Треугольник $ABC$ является основанием пирамиды $DABC$, $AB = BC = DB = a$, $\angle ABC = 90^\circ$, $DB \perp ABC$. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 3.

Радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду, можно найти по формуле $r = \frac{3V}{S_{\text{полн}}}$, где $V$ — объем пирамиды, а $S_{\text{полн}}$ — площадь ее полной поверхности.

1. Вычисление объема пирамиды (V).

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB = BC = a$ и прямым углом при вершине $B$. Площадь основания $S_{\text{осн}}$ равна:

$S_{\text{осн}} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$

По условию, ребро $DB$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, значит, $DB$ является высотой пирамиды $H$. Длина высоты $H = DB = a$.

Объем пирамиды равен:

$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot a = \frac{a^3}{6}$

2. Вычисление площади полной поверхности ($S_{\text{полн}}$).

Площадь полной поверхности — это сумма площади основания и площадей всех боковых граней: $S_{\text{полн}} = S_{ABC} + S_{DAB} + S_{DBC} + S_{DAC}$.

Площадь основания $S_{ABC} = \frac{a^2}{2}$.

Рассмотрим боковые грани:

• Грань $DAB$: Так как $DB \perp (ABC)$, то $DB \perp AB$. Следовательно, $\triangle DAB$ — прямоугольный с катетами $DB=a$ и $AB=a$. Его площадь: $S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot AB = \frac{1}{2} a^2$.
• Грань $DBC$: Аналогично, $DB \perp BC$, поэтому $\triangle DBC$ — прямоугольный с катетами $DB=a$ и $BC=a$. Его площадь: $S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot BC = \frac{1}{2} a^2$.
• Грань $DAC$: Найдем длины сторон этого треугольника, используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $ABC$, $DAB$ и $DBC$:
  $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
  $DA = \sqrt{DB^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$
  $DC = \sqrt{DB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$
  Все стороны треугольника $DAC$ равны, значит, он равносторонний. Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.
  $S_{DAC} = \frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Теперь сложим площади всех граней:

$S_{\text{полн}} = S_{ABC} + S_{DAB} + S_{DBC} + S_{DAC} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2 + a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2(3 + \sqrt{3})}{2}$

3. Вычисление радиуса вписанной сферы (r).

Подставим найденные значения $V$ и $S_{\text{полн}}$ в исходную формулу:

$r = \frac{3V}{S_{\text{полн}}} = \frac{3 \cdot \frac{a^3}{6}}{\frac{a^2(3 + \sqrt{3})}{2}} = \frac{\frac{a^3}{2}}{\frac{a^2(3 + \sqrt{3})}{2}}$

Сокращаем дробь на $\frac{a^2}{2}$:

$r = \frac{a}{3 + \sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - \sqrt{3})$:

$r = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{6}$

Ответ: $r = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{6}$.