Номер 23, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 23, страница 116.

Условие.

15.23. Около шара описана правильная треугольная усечённая пирамида, стороны оснований которой равны 6 см и 12 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения площади боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды воспользуемся формулой:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h'$

где $P_1$ и $P_2$ – периметры оснований, а $h'$ – апофема (высота боковой грани) усеченной пирамиды.

Основаниями пирамиды являются правильные (равносторонние) треугольники со сторонами $a_1 = 12$ см и $a_2 = 6$ см. Найдем их периметры:

Периметр нижнего основания: $P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 12 = 36$ см.

Периметр верхнего основания: $P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 6 = 18$ см.

Для нахождения апофемы $h'$ используем условие, что в пирамиду вписан шар. Это означает, что шар касается обоих оснований и всех боковых граней. Для усеченной пирамиды, описанной около шара, существует свойство, связывающее ее апофему с радиусами окружностей, вписанных в основания ($r_1$ и $r_2$):

$h' = r_1 + r_2$

Найдем радиусы вписанных окружностей для оснований. Формула радиуса вписанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ имеет вид: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Радиус окружности, вписанной в нижнее основание (со стороной $a_1 = 12$ см):

$r_1 = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Радиус окружности, вписанной в верхнее основание (со стороной $a_2 = 6$ см):

$r_2 = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти апофему усеченной пирамиды:

$h' = r_1 + r_2 = 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Подставим все найденные значения в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(36 + 18) \cdot 3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot 3\sqrt{3} = 27 \cdot 3\sqrt{3} = 81\sqrt{3}$ см².

Ответ: $81\sqrt{3}$ см².