Номер 2, страница 120 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 2, страница 120.

Условие.

2. Какая точка является центром сферы, описанной около цилиндра?

Решение 1.

Решение 3.

Сферой, описанной около цилиндра, называется такая сфера, которая проходит через все точки окружностей обоих оснований цилиндра. Центр такой сферы должен быть равноудален от всех этих точек.

Рассмотрим ось симметрии цилиндра — это прямая, проходящая через центры его оснований. Из соображений симметрии, любая точка на этой оси равноудалена от всех точек окружности основания, лежащей в перпендикулярной оси плоскости. Следовательно, центр описанной сферы должен лежать на оси цилиндра.

Теперь рассмотрим плоскость, которая перпендикулярна оси цилиндра и проходит через середину его высоты. Эта плоскость является плоскостью симметрии как для цилиндра, так и для описанной вокруг него сферы. Любая плоскость симметрии сферы проходит через ее центр. Таким образом, центр сферы должен лежать и в этой плоскости.

Центр описанной сферы находится в точке пересечения двух этих геометрических мест: оси цилиндра и плоскости, делящей его высоту пополам. Эта точка — середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра. Данный отрезок является высотой цилиндра, проходящей по его оси.

Докажем это. Пусть высота цилиндра равна $H$, а радиус основания — $r$. Пусть центры оснований — точки $O_1$ и $O_2$. Точка $O$, являющаяся серединой отрезка $O_1O_2$, — предполагаемый центр сферы. Расстояние от точки $O$ до центра любого из оснований, например $O_1$, равно $H/2$. Возьмем произвольную точку $A$ на окружности основания с центром $O_1$. Расстояние от $O_1$ до $A$ равно радиусу цилиндра $r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_1A$, где катеты $OO_1 = H/2$ и $O_1A = r$. Гипотенуза $OA$ является радиусом сферы $R$. По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + (H/2)^2$

Так как это расстояние одинаково для любой точки на окружностях обоих оснований, точка $O$ действительно является центром описанной сферы.

Ответ: Центром сферы, описанной около цилиндра, является середина его высоты, лежащая на оси цилиндра.