Номер 27, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 27, страница 116.

Условие.

15.27. Коллинеарны ли векторы $\vec{m}(8; -10; 6)$ и $\vec{n}(-4; 5; -3)$? Найдите координаты вектора $\vec{k}$, который коллинеарен вектору $\vec{n}$ и модуль которого в три раза больше модуля вектора $\vec{n}$.

Решение 1.

Решение 3.

Коллинеарны ли векторы $\vec{m}(8;-10;6)$ и $\vec{n}(-4;5;-3)$?

Два вектора называются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. То есть для векторов $\vec{m}(m_x; m_y; m_z)$ и $\vec{n}(n_x; n_y; n_z)$ должно существовать такое число $k$, что выполняются равенства $m_x = k \cdot n_x$, $m_y = k \cdot n_y$ и $m_z = k \cdot n_z$. Это эквивалентно проверке равенства отношений их координат: $\frac{m_x}{n_x} = \frac{m_y}{n_y} = \frac{m_z}{n_z}$.

Проверим это условие для заданных векторов $\vec{m}(8;-10;6)$ и $\vec{n}(-4;5;-3)$:
$\frac{8}{-4} = -2$
$\frac{-10}{5} = -2$
$\frac{6}{-3} = -2$

Поскольку отношения всех соответствующих координат равны одному и тому же числу (-2), векторы являются коллинеарными.

Ответ: Да, векторы коллинеарны.

Найдите координаты вектора $\vec{k}$, который коллинеарен вектору $\vec{n}$ и модуль которого в три раза больше модуля вектора $\vec{n}$.

Условие коллинеарности вектора $\vec{k}$ вектору $\vec{n}$ означает, что существует такое число $\mu$, что $\vec{k} = \mu \vec{n}$. Координаты вектора $\vec{k}$ можно выразить через координаты вектора $\vec{n}(-4;5;-3)$: $\vec{k} = (\mu \cdot (-4); \mu \cdot 5; \mu \cdot (-3)) = (-4\mu; 5\mu; -3\mu)$.

Модуль вектора $\vec{k}$ связан с модулем вектора $\vec{n}$ соотношением $|\vec{k}| = |\mu \vec{n}| = |\mu| \cdot |\vec{n}|$.

По условию задачи, модуль вектора $\vec{k}$ в три раза больше модуля вектора $\vec{n}$: $|\vec{k}| = 3|\vec{n}|$.

Приравнивая два выражения для модуля вектора $\vec{k}$, получаем: $|\mu| \cdot |\vec{n}| = 3|\vec{n}|$.

Поскольку вектор $\vec{n}$ ненулевой (его модуль $|\vec{n}| = \sqrt{(-4)^2+5^2+(-3)^2} = \sqrt{16+25+9} = \sqrt{50} \neq 0$), мы можем сократить на $|\vec{n}|$: $|\mu| = 3$.

Это уравнение имеет два решения: $\mu = 3$ и $\mu = -3$. Следовательно, существуют два вектора, удовлетворяющих условиям задачи.
1. Если $\mu = 3$: $\vec{k_1} = 3 \cdot \vec{n} = 3 \cdot (-4; 5; -3) = (-12; 15; -9)$.
2. Если $\mu = -3$: $\vec{k_2} = -3 \cdot \vec{n} = -3 \cdot (-4; 5; -3) = (12; -15; 9)$.

Ответ: Координаты вектора $\vec{k}$ могут быть $(-12; 15; -9)$ или $(12; -15; 9)$.