Номер 1, страница 120 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 1, страница 120.

Условие.

1. Какую сферу называют описанной около цилиндра?

Решение 1.

Решение 3.

1. Сферу называют описанной около цилиндра, если окружности оснований этого цилиндра лежат на поверхности сферы.

Для того чтобы сфера была описана около цилиндра, должны выполняться следующие условия:
1. Цилиндр полностью находится внутри сферы.
2. Все точки окружностей верхнего и нижнего оснований цилиндра касаются поверхности сферы.

Из этих условий следует, что центр описанной сферы совпадает с центром симметрии цилиндра, то есть с серединой его оси (отрезка, соединяющего центры оснований).

Радиус описанной сферы $R$, радиус основания цилиндра $r$ и высота цилиндра $h$ связаны между собой. Эту связь можно увидеть, рассмотрев осевое сечение комбинации этих двух тел. Сечением цилиндра будет прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$, а сечением сферы — большая окружность радиуса $R$. Вершины этого прямоугольника будут лежать на окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r$ и половина высоты цилиндра $\frac{h}{2}$, а гипотенузой — радиус описанной сферы $R$. По теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

Из этой формулы можно выразить радиус описанной сферы:
$R = \sqrt{r^2 + \frac{h^2}{4}}$

Это означает, что для любого прямого кругового цилиндра существует единственная описанная около него сфера.

Ответ: Сферой, описанной около цилиндра, называется такая сфера, на поверхности которой лежат окружности оснований цилиндра.