Номер 28, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 28, страница 122.

Условие.

16.28. В усечённый конус вписан шар, радиус которого равен $R$. Диаметр большего основания усечённого конуса видно из центра шара под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса соответственно, $l$ — его образующая, а $h$ — высота. Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:$S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)l$.

Поскольку в усечённый конус вписан шар, его осевое сечение представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность радиуса $R$. Высота этой трапеции равна высоте конуса и диаметру вписанного шара, то есть $h = 2R$.

Важным свойством усечённого конуса, в который можно вписать шар, является равенство суммы радиусов оснований его образующей:$l = r_1 + r_2$.Подставив это соотношение в формулу площади боковой поверхности, получаем:$S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)^2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $h=2R$, частью большего основания длиной $r_1 - r_2$ и образующей $l$. По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$.Подставим $l = r_1 + r_2$ и $h = 2R$:$(r_1 + r_2)^2 = (2R)^2 + (r_1 - r_2)^2$.Раскроем скобки:$r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 = 4R^2 + r_1^2 - 2r_1r_2 + r_2^2$.Упрощая, получаем:$4r_1r_2 = 4R^2$, откуда следует $r_1r_2 = R^2$.

Теперь используем условие, что диаметр большего основания виден из центра шара $O$ под углом $\alpha$. Рассмотрим осевое сечение. Пусть $O_1$ — центр большего основания, а $D$ — точка на его окружности. Треугольник, образованный диаметром большего основания и центром шара $O$, является равнобедренным. Высота этого треугольника, опущенная из точки $O$ на диаметр, является отрезком $OO_1$, длина которого равна радиусу шара $R$. Эта высота также является биссектрисой угла $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO_1D$. В нём катет $OO_1 = R$, катет $O_1D = r_1$, а угол $\angle O_1OD = \alpha/2$. Из определения тангенса угла:$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{O_1D}{OO_1} = \frac{r_1}{R}$.Отсюда выразим радиус большего основания:$r_1 = R \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Используя соотношение $r_1r_2 = R^2$, найдём радиус меньшего основания:$r_2 = \frac{R^2}{r_1} = \frac{R^2}{R \tan(\frac{\alpha}{2})} = R \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь мы можем найти сумму радиусов:$r_1 + r_2 = R \tan(\frac{\alpha}{2}) + R \cot(\frac{\alpha}{2}) = R\left(\tan(\frac{\alpha}{2}) + \cot(\frac{\alpha}{2})\right)$.Упростим тригонометрическое выражение в скобках, приведя к общему знаменателю:$\tan(\frac{\alpha}{2}) + \cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} + \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(\alpha)} = \frac{2}{\sin(\alpha)}$.

Следовательно, сумма радиусов равна:$r_1 + r_2 = R \cdot \frac{2}{\sin(\alpha)} = \frac{2R}{\sin(\alpha)}$.

Наконец, подставим это выражение в формулу для площади боковой поверхности:$S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)^2 = \pi \left(\frac{2R}{\sin(\alpha)}\right)^2 = \frac{4\pi R^2}{\sin^2(\alpha)}$.

Ответ: $\frac{4\pi R^2}{\sin^2(\alpha)}$