Номер 3, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3. Сформулируйте определение параллельности прямой и плоскости. Сформулируйте признаки параллельности прямой и плоскости.

Сформулируйте определение параллельности прямой и плоскости.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве может быть одним из трех следующих:

• Прямая лежит в плоскости (имеют бесконечно много общих точек). Если прямая a лежит в плоскости α, это обозначается как $a \subset \alpha$.
• Прямая пересекает плоскость (имеют одну общую точку). Если прямая a пересекает плоскость α в точке M, это обозначается как $a \cap \alpha = M$.
• Прямая параллельна плоскости (не имеют общих точек). Если прямая a параллельна плоскости α, это обозначается как $a \parallel \alpha$. Это означает, что их пересечение является пустым множеством: $a \cap \alpha = \emptyset$.

Ответ: Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с этой плоскостью ни одной общей точки.

Сформулируйте признаки параллельности прямой и плоскости.

Существует несколько признаков (теорем), которые позволяют установить параллельность прямой и плоскости.

Признак 1 (Основной признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Формально, для прямой a и плоскости α, если выполняются следующие условия:

1. Существует прямая b, лежащая в плоскости α ($b \subset \alpha$).
2. Прямая a параллельна прямой b ($a \parallel b$).
3. Прямая a не лежит в плоскости α ($a \not\subset \alpha$).

То из этого следует, что прямая a параллельна плоскости α ($a \parallel \alpha$).

Признак 2 (С использованием векторов в координатном методе)

Прямая параллельна плоскости, если ее направляющий вектор перпендикулярен (ортогонален) нормальному вектору плоскости, и при этом прямая не лежит в данной плоскости.

Пусть прямая a задана направляющим вектором $\vec{v} = (l, m, n)$ и точкой $M_0(x_0, y_0, z_0)$, а плоскость α задана общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, где $\vec{N} = (A, B, C)$ — ее нормальный вектор. Прямая a параллельна плоскости α, если выполняются два условия:

1. Скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости равно нулю: $\vec{v} \cdot \vec{N} = 0$, что в координатах выглядит как $Al + Bm + Cn = 0$.
2. Точка $M_0$, принадлежащая прямой, не принадлежит плоскости: $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \neq 0$.

Ответ: Основной признак: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Второй признак (координатный): прямая параллельна плоскости, если ее направляющий вектор ортогонален нормальному вектору плоскости, и любая точка прямой не лежит в этой плоскости.