Номер 7, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7. Сформулируйте признаки перпендикулярности прямой и плоскости.

Признаки перпендикулярности прямой и плоскости — это теоремы, которые позволяют установить, что прямая перпендикулярна плоскости, не проверяя ее перпендикулярность каждой прямой в этой плоскости. Существует несколько таких признаков, но ключевым является следующий.

Основной признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Это означает, что если дана прямая $a$ и плоскость $\alpha$, и в плоскости $\alpha$ можно найти две прямые $b$ и $c$, которые пересекаются в некоторой точке $M$, и при этом прямая $a$ перпендикулярна как прямой $b$, так и прямой $c$, то можно сделать вывод, что прямая $a$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha$.

Это можно записать в виде логического условия:

Если $b \subset \alpha, c \subset \alpha, b \cap c = M$ и $a \perp b, a \perp c$, то $a \perp \alpha$.

Второй признак (следствие из свойств параллельных прямых)

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Это означает, что если даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Если известно, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, то из этого следует, что и ее "параллельная копия", прямая $b$, также будет перпендикулярна той же плоскости $\alpha$.

Логическая запись:

Если $a \parallel b$ и $a \perp \alpha$, то $b \perp \alpha$.

Ответ:

Основными признаками перпендикулярности прямой и плоскости являются следующие два утверждения:

1. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, которые лежат в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.