Номер 14, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

14. Как определяется расстояние между скрещивающимися прямыми?

Скрещивающимися прямыми называют прямые в трехмерном пространстве, которые не лежат в одной плоскости, то есть они не пересекаются и не параллельны.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется как длина их общего перпендикуляра. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых является отрезок, который перпендикулярен обеим прямым и концы которого лежат на этих прямых. Для любых двух скрещивающихся прямых существует только один такой общий перпендикуляр, и его длина представляет собой кратчайшее расстояние между точками этих прямых.

Для нахождения этого расстояния на практике применяют несколько методов.

1. Геометрический метод (метод параллельной плоскости)

Этот метод заключается в сведении задачи к нахождению расстояния от точки до плоскости. Алгоритм действий следующий:

1. Пусть даны скрещивающиеся прямые a и b.

2. Через одну из прямых, например a, проводится плоскость $\alpha$, которая параллельна второй прямой b. Для этого через любую точку прямой a нужно провести прямую b', параллельную b. Плоскость, содержащая пересекающиеся прямые a и b', и будет искомой плоскостью $\alpha$.

3. Расстояние между скрещивающимися прямыми a и b будет равно расстоянию от любой точки прямой b до построенной плоскости $\alpha$.

4. То есть, выбрав любую точку M на прямой b, нужно найти длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость $\alpha$. Эта длина и будет искомым расстоянием.

2. Координатно-векторный метод

Этот метод является наиболее универсальным и позволяет найти расстояние, если известны координаты точек и направляющих векторов прямых.

Пусть первая прямая $l_1$ проходит через точку $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и имеет направляющий вектор $\vec{s_1} = \{a_1, b_1, c_1\}$.

Пусть вторая прямая $l_2$ проходит через точку $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и имеет направляющий вектор $\vec{s_2} = \{a_2, b_2, c_2\}$.

Тогда расстояние $\rho$ между прямыми $l_1$ и $l_2$ вычисляется по формуле, основанной на объеме параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{M_1M_2}$, $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$:

$\rho(l_1, l_2) = \frac{\left|(\vec{M_1M_2}, \vec{s_1}, \vec{s_2})\right|}{\left|\vec{s_1} \times \vec{s_2}\right|}$

где:

• $\vec{M_1M_2} = \{x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\}$ — вектор, соединяющий точки на прямых.

• $(\vec{M_1M_2}, \vec{s_1}, \vec{s_2})$ — смешанное (векторно-скалярное) произведение векторов. Его модуль равен объему параллелепипеда и вычисляется как определитель:

$(\vec{M_1M_2}, \vec{s_1}, \vec{s_2}) = \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}$

• $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$ — векторное произведение направляющих векторов. Его модуль $|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|$ равен площади основания параллелепипеда (параллелограмма, построенного на векторах $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$).

Таким образом, формула представляет собой отношение объема параллелепипеда к площади его основания, что и дает высоту, равную искомому расстоянию.

Ответ: Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется как длина их общего перпендикуляра. Это кратчайшее расстояние между точками, лежащими на этих прямых.