Номер 19, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

19. Как определить координаты точки и вектора в пространстве? Как найти координаты вектора по координатам его концов?

Как определить координаты точки и вектора в пространстве?

Для определения координат в трехмерном пространстве вводится прямоугольная (декартова) система координат. Она состоит из:

• Точки начала отсчета (О).
• Трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через начало отсчета: ось абсцисс ($Ox$), ось ординат ($Oy$) и ось аппликат ($Oz$).
• Единичных векторов (ортов) на каждой оси: $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$, которые задают положительное направление и масштаб.

Координаты точки

Положение любой точки $M$ в пространстве однозначно определяется упорядоченной тройкой чисел $(x, y, z)$, которые называются ее координатами. Эти числа можно определить несколькими эквивалентными способами:

1. Как координаты проекций точки $M$ на оси координат. Координата $x$ — это проекция точки $M$ на ось $Ox$, $y$ — на ось $Oy$, $z$ — на ось $Oz$.
2. Как длины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостями, проходящими через точку $M$ параллельно координатным плоскостям.
3. Как координаты радиус-вектора $\vec{OM}$. Радиус-вектор — это вектор, начало которого совпадает с началом координат $O$, а конец — с точкой $M$. Таким образом, координаты точки $M(x, y, z)$ — это координаты ее радиус-вектора $\vec{OM} = (x, y, z)$.

Координаты вектора

Координаты вектора $\vec{a}$ — это упорядоченная тройка чисел $(a_x, a_y, a_z)$, которые являются его проекциями на оси координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно. Если отложить вектор $\vec{a}$ от начала координат $O$, то его координаты будут совпадать с координатами его конечной точки $A$.

Любой вектор в пространстве можно разложить по базисным векторам $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$:

$\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$

Коэффициенты $a_x, a_y, a_z$ в этом разложении и являются координатами вектора $\vec{a}$.

Ответ: Координаты точки $M$ в пространстве — это координаты ее радиус-вектора $\vec{OM}$. Координаты вектора $\vec{a}$ — это коэффициенты $a_x, a_y, a_z$ в его разложении по базисным векторам $\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$, что эквивалентно координатам его конечной точки, если его начало помещено в начало координат.

Как найти координаты вектора по координатам его концов?

Пусть в пространстве задан вектор $\vec{AB}$, где $A$ — его начальная точка (начало), а $B$ — конечная точка (конец).

Пусть координаты начальной точки $A$ равны $(x_1, y_1, z_1)$, а координаты конечной точки $B$ равны $(x_2, y_2, z_2)$.

Чтобы найти координаты вектора $\vec{AB}$, можно рассмотреть радиус-векторы точек $A$ и $B$, то есть векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$. По правилу треугольника для векторов имеем:

$\vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB}$

Отсюда выражаем вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

Координаты радиус-векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ совпадают с координатами точек $A$ и $B$:

$\vec{OA} = (x_1, y_1, z_1)$

$\vec{OB} = (x_2, y_2, z_2)$

При вычитании векторов их соответствующие координаты вычитаются. Следовательно, координаты вектора $\vec{AB}$ равны разности соответствующих координат его конца и начала:

$\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$

Например, если $A(1, 2, 3)$ и $B(5, 7, 4)$, то координаты вектора $\vec{AB}$ будут:

$\vec{AB} = (5-1, 7-2, 4-3) = (4, 5, 1)$

Ответ: Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами его начала $A(x_1, y_1, z_1)$ и конца $B(x_2, y_2, z_2)$, нужно из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала. Координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются по формуле: $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.