Номер 21, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

21. Напишите формулу деления отрезка в данном отношении и поясните ее смысл.

Формула деления отрезка в данном отношении

Пусть в декартовой системе координат задан отрезок своими концами — точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Требуется найти координаты точки $C(x, y)$, которая делит этот отрезок в заданном отношении $\lambda$, что означает: $\lambda = \frac{|AC|}{|CB|}$ где $|AC|$ и $|CB|$ — длины отрезков $AC$ и $CB$ соответственно.

Координаты точки $C(x, y)$ вычисляются по следующим формулам: $x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$ $y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$

Если точки заданы в трехмерном пространстве, $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, то для координаты $z$ добавляется аналогичная формула: $z = \frac{z_1 + \lambda z_2}{1 + \lambda}$

Пояснение смысла формулы

Смысл данной формулы заключается в том, что координаты искомой точки $C$ представляют собой взвешенное среднее координат концов отрезка $A$ и $B$.

Числа 1 и $\lambda$ выступают в роли "весов". Формула показывает, что радиус-вектор точки $C$ является линейной комбинацией радиус-векторов точек $A$ и $B$. Чем больше значение $\lambda$ (то есть чем дальше точка $C$ от $A$ и ближе к $B$), тем больший "вклад" вносят координаты точки $B$ в итоговый результат.

Наглядным частным случаем является деление отрезка пополам. В этом случае точка $C$ является серединой отрезка $AB$, и длины $|AC|$ и $|CB|$ равны. Следовательно, отношение $\lambda = 1$. Подставив $\lambda = 1$ в общие формулы, получаем известные формулы для нахождения координат середины отрезка: $x = \frac{x_1 + 1 \cdot x_2}{1 + 1} = \frac{x_1 + x_2}{2}$ $y = \frac{y_1 + 1 \cdot y_2}{1 + 1} = \frac{y_1 + y_2}{2}$ Это простое среднее арифметическое координат концов, что подтверждает идею взвешенного среднего, где при $\lambda=1$ веса становятся равными.

Ответ: Координаты $(x, y)$ точки $C$, которая делит отрезок с концами в точках $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ в отношении $\lambda = \frac{|AC|}{|CB|}$, находятся по формулам: $x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$, $y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$. Смысл формул в том, что координаты точки деления вычисляются как взвешенное среднее координат концов отрезка.