Номер 0.6, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.6. Прямые $\text{OA}$, $\text{OB}$ и $\text{OC}$ таковы, что $OA \perp OB$, $OB \perp OC$, $OC \perp OA$. Найдите углы треугольника $ABC$, если $OA=OB=OC$.

Пусть $OA = OB = OC = a$.

Поскольку прямые $OA$, $OB$ и $OC$ попарно перпендикулярны, то отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ образуют три прямых угла с общей вершиной $O$: $\angle AOB = 90^\circ$, $\angle BOC = 90^\circ$ и $\angle COA = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle COA$. Все они являются прямоугольными и равнобедренными.

В треугольнике $\triangle AOB$: он прямоугольный, с катетами $OA = a$ и $OB = a$. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AB$:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$AB = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

В треугольнике $\triangle BOC$: он прямоугольный, с катетами $OB = a$ и $OC = a$. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $BC$:

$BC^2 = OB^2 + OC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$BC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

В треугольнике $\triangle COA$: он прямоугольный, с катетами $OC = a$ и $OA = a$. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AC$:

$AC^2 = OC^2 + OA^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$AC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Мы видим, что все стороны треугольника $ABC$ равны между собой: $AB = BC = AC = a\sqrt{2}$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$.

Ответ: все углы треугольника $ABC$ равны $60^\circ$.