Номер 0.8, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.8. Параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекают сторону $\text{OA}$ угла $AOB$ в точках $A_1$, $A_2$, а сторону $\text{OB}$ - в точках $B_1$, $B_2$ соответственно. Найдите $A_1B_1$, если $OB_1 = 12$ см, $OB_2 = 18$ см, $A_2B_2 = 54$ см.

По условию задачи, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Согласно теореме о том, что если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью (в данном случае плоскостью угла $AOB$), то линии их пересечения параллельны. Следовательно, отрезки $A_1B_1$ и $A_2B_2$ также параллельны: $A_1B_1 \parallel A_2B_2$.

Рассмотрим треугольники $ΔOA_1B_1$ и $ΔOA_2B_2$. У этих треугольников угол $\angle O$ является общим. Так как $A_1B_1 \parallel A_2B_2$, то углы $\angle OB_1A_1$ и $\angle OB_2A_2$ равны как соответственные при параллельных прямых $A_1B_1$, $A_2B_2$ и секущей $OB$. Следовательно, треугольники $ΔOA_1B_1$ и $ΔOA_2B_2$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $$ \frac{OA_1}{OA_2} = \frac{OB_1}{OB_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2} $$

Подставим в это соотношение известные из условия значения: $OB_1 = 12$ см, $OB_2 = 18$ см, $A_2B_2 = 54$ см. $$ \frac{12}{18} = \frac{A_1B_1}{54} $$

Выразим и найдем длину искомого отрезка $A_1B_1$: $$ A_1B_1 = 54 \cdot \frac{12}{18} $$ Сократим дробь $\frac{12}{18}$ на 6, получим $\frac{2}{3}$: $$ A_1B_1 = 54 \cdot \frac{2}{3} = \frac{54 \cdot 2}{3} = 18 \cdot 2 = 36 \text{ см} $$

Ответ: 36 см.