Номер 0.15, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.15. Точка $\text{B}$ делит отрезок $\text{OA}$ в отношении $OB:BA=1:3$. Через точку $\text{A}$ параллельно отрезку $\text{BC}$ проведена плоскость $\alpha$. Покажите, что прямая $\text{OC}$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $\text{D}$. Найдите $\text{AD}$, если $BC=12 \text{ см}$.

Покажите, что прямая ОС пересекает плоскость α в некоторой точке D.

Рассмотрим плоскость, определяемую точками O, A и C. Обозначим ее как плоскость $(OAC)$. Прямые OA и OC лежат в этой плоскости. Поскольку точка B лежит на отрезке OA, она также принадлежит плоскости $(OAC)$. Следовательно, отрезок BC целиком лежит в плоскости $(OAC)$.

По условию, через точку A проведена плоскость $α$, параллельная отрезку BC. Это означает, что $BC \parallel \alpha$.

Таким образом, мы имеем плоскость $(OAC)$, которая содержит прямую BC, параллельную плоскости $α$. Плоскость $(OAC)$ пересекает плоскость $α$, так как точка A принадлежит обеим плоскостям. По свойству параллельности прямой и плоскости, линия пересечения плоскостей $(OAC)$ и $α$ будет прямой, параллельной прямой BC.

Эта линия пересечения проходит через точку A. Обозначим ее как прямую $d$. Итак, $d \subset \alpha$, $A \in d$ и $d \parallel BC$.

Прямая OC и прямая $d$ обе лежат в одной плоскости $(OAC)$. Они не могут быть параллельны, так как если бы $OC \parallel d$, то из $d \parallel BC$ следовало бы, что $OC \parallel BC$, что невозможно, так как они пересекаются в точке C. Поскольку прямые OC и $d$ лежат в одной плоскости и не параллельны, они должны пересекаться в некоторой точке. Обозначим эту точку D.

Так как точка D принадлежит прямой $d$, а прямая $d$ лежит в плоскости $α$, то точка D принадлежит плоскости $α$. Таким образом, прямая OC пересекает плоскость $α$ в точке D.

Найдите AD, если BC=12 см.

Рассмотрим треугольники $ΔOBC$ и $ΔOAD$, которые лежат в плоскости $(OAC)$.

Из предыдущего доказательства мы знаем, что линия пересечения, на которой лежат точки A и D, параллельна BC. Следовательно, $AD \parallel BC$.

В треугольниках $ΔOBC$ и $ΔOAD$:

• $∠AOD$ — общий.
• $∠OBC = ∠OAD$ как соответственные углы при параллельных прямых BC и AD и секущей OA.

Следовательно, треугольники $ΔOBC$ и $ΔOAD$ подобны по двум углам ($ΔOBC \sim ΔOAD$).

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны:

$\frac{AD}{BC} = \frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC}$

По условию, точка B делит отрезок OA в отношении $OB:BA = 1:3$. Примем длину отрезка $OB$ за $x$. Тогда длина отрезка $BA$ будет равна $3x$. Длина всего отрезка OA составляет $OA = OB + BA = x + 3x = 4x$.

Теперь мы можем найти отношение длин сторон $OA$ и $OB$:

$\frac{OA}{OB} = \frac{4x}{x} = 4$

Подставим это отношение и известную длину BC в пропорцию:

$\frac{AD}{12} = 4$

Отсюда находим длину AD:

$AD = 12 \cdot 4 = 48$ см.

Ответ: 48 см.