Номер 0.10, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.10. Точки $A_1$ и $B_1$ являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точек $\text{A}$ и $\text{B}$ соответственно на плоскость $\alpha$, а отрезок $\text{AB}$ и плоскость $\alpha$ не пересекаются. Найдите:

1) $A_1B_1$, если $AA_1 = 2 \text{ см}$, $BB_1 = 14 \text{ см}$, $AB = 13 \text{ см}$;

2) $\text{AB}$, если $AA_1 = 27 \text{ мм}$, $BB_1 = 20 \text{ мм}$, $A_1B_1 = 24 \text{ мм}$.

Поскольку отрезки $AA_1$ и $BB_1$ являются перпендикулярами к плоскости $\alpha$, то $AA_1 \perp \alpha$ и $BB_1 \perp \alpha$. Прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу, следовательно, $AA_1 \parallel BB_1$. Так как отрезок $AB$ не пересекает плоскость $\alpha$, точки $A$ и $B$ находятся по одну сторону от плоскости.

Четырехугольник $A_1B_1BA$ является прямоугольной трапецией, так как $AA_1 \parallel BB_1$ и $\angle AA_1B_1 = \angle BB_1A_1 = 90^\circ$. $A_1B_1$ и $AB$ — это основания и боковая сторона трапеции соответственно. Для решения задачи мы можем использовать дополнительное построение, создав прямоугольный треугольник.

1) Дано: $AA_1 = 2 \text{ см}$, $BB_1 = 14 \text{ см}$, $AB = 13 \text{ см}$. Найти: $A_1B_1$.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к прямой $BB_1$. Так как $AA_1B_1H$ — прямоугольник, то $AH = A_1B_1$ и $A_1A = H B_1 = 2 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$ ( $\angle AHB = 90^\circ$ ). Катет $BH$ можно найти как разность длин оснований трапеции: $BH = BB_1 - HB_1 = BB_1 - AA_1 = 14 - 2 = 12 \text{ см}$.

По теореме Пифагора $AB^2 = AH^2 + BH^2$. Отсюда найдем $AH$: $AH^2 = AB^2 - BH^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$. $AH = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$.

Так как $AH = A_1B_1$, то $A_1B_1 = 5 \text{ см}$.

Ответ: 5 см.

2) Дано: $AA_1 = 27 \text{ мм}$, $BB_1 = 20 \text{ мм}$, $A_1B_1 = 24 \text{ мм}$. Найти: $AB$.

В данном случае $AA_1 > BB_1$. Проведем из точки $B$ перпендикуляр $BH$ к прямой $AA_1$. Четырехугольник $B_1A_1HB$ будет являться прямоугольником, поэтому $BH = A_1B_1 = 24 \text{ мм}$ и $BB_1 = HA_1 = 20 \text{ мм}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ( $\angle AHB = 90^\circ$ ). Найдем катет $AH$: $AH = AA_1 - HA_1 = AA_1 - BB_1 = 27 - 20 = 7 \text{ мм}$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$: $AB^2 = AH^2 + BH^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$. $AB = \sqrt{625} = 25 \text{ мм}$.

Ответ: 25 мм.