Номер 0.12, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.12. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите векторы, концы которых расположены на вершинах параллелепипеда и равны следующей сумме векторов:

1) $\overline{DA} + \overline{DC} + \overline{DD_1}$;

2) $\overline{A_1B_1} + \overline{C_1B_1} + \overline{D_1B_1}$.

1) Для нахождения суммы векторов $\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{DD₁}$ воспользуемся правилом параллелепипеда. Векторы $\vec{DA}$, $\vec{DC}$ и $\vec{DD₁}$ исходят из одной вершины $D$ и направлены вдоль ребер параллелепипеда. Сумма трех некомпланарных векторов, отложенных от одной точки, равна вектору диагонали параллелепипеда, построенного на этих векторах, и исходящей из той же точки. В данном случае, это главная диагональ параллелепипеда, которая начинается в точке $D$ и заканчивается в противоположной ей вершине $B₁$.

Таким образом: $\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{DD₁} = \vec{DB₁}$.

Альтернативное решение по шагам:

Сначала сложим векторы, лежащие в одной плоскости (основание $ABCD$), по правилу параллелограмма: $\vec{DA} + \vec{DC} = \vec{DB}$.

Затем к полученному вектору $\vec{DB}$ прибавим третий вектор $\vec{DD₁}$: $\vec{DB} + \vec{DD₁}$. Векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DD₁}$ являются сторонами параллелограмма $DBB₁D₁$. Их сумма по правилу параллелограмма равна диагонали $\vec{DB₁}$.

Следовательно, $\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{DD₁} = \vec{DB₁}$.

Ответ: $\vec{DB₁}$.

2) Рассмотрим сумму векторов $\vec{A₁B₁} + \vec{C₁B₁} + \vec{D₁B₁}$.

Вначале преобразуем сумму первых двух векторов $\vec{A₁B₁} + \vec{C₁B₁}$. В параллелограмме $A₁B₁C₁D₁$ векторы $\vec{B₁A₁}$ и $\vec{B₁C₁}$ выходят из одной вершины. По правилу параллелограмма их сумма равна вектору диагонали $\vec{B₁D₁}$: $\vec{B₁A₁} + \vec{B₁C₁} = \vec{B₁D₁}$.

Выразим нашу сумму через эти векторы: $\vec{A₁B₁} + \vec{C₁B₁} = -(\vec{B₁A₁}) + -(\vec{B₁C₁}) = -(\vec{B₁A₁} + \vec{B₁C₁})$.

Подставив результат сложения, получаем: $-(\vec{B₁D₁}) = \vec{D₁B₁}$.

Итак, сумма первых двух векторов равна $\vec{D₁B₁}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(\vec{A₁B₁} + \vec{C₁B₁}) + \vec{D₁B₁} = \vec{D₁B₁} + \vec{D₁B₁} = 2\vec{D₁B₁}$.

Полученный вектор $2\vec{D₁B₁}$ имеет то же направление, что и вектор диагонали грани $\vec{D₁B₁}$, но его длина в два раза больше. Вектор, концы которого расположены на вершинах заданного параллелепипеда, не может быть равен вектору $2\vec{D₁B₁}$. Следовательно, такого вектора не существует, вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Ответ: Такого вектора не существует.