Номер 0.13, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.13. Точки А, В, С расположены на одной прямой. Точка О не принадлежит этой прямой, векторы $\overline{OA}$, $\overline{OB}$, $\overline{OC}$ компланарны. Докажите это.

Для доказательства того, что векторы $\overline{OA}$, $\overline{OB}$ и $\overline{OC}$ компланарны, мы воспользуемся определением компланарности. Три вектора называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости. Алгебраически это означает, что один из векторов можно выразить как линейную комбинацию двух других.

По условию задачи, точки $A$, $B$ и $C$ расположены на одной прямой. Это означает, что векторы, построенные на любых двух парах этих точек, например, векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$, являются коллинеарными.

Из коллинеарности векторов $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ следует, что существует такое действительное число $k$, для которого выполняется равенство:

$\overline{AC} = k \cdot \overline{AB}$

Воспользуемся правилом разности векторов, чтобы выразить векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ через векторы, отложенные от точки $O$:

$\overline{AB} = \overline{OB} - \overline{OA}$

$\overline{AC} = \overline{OC} - \overline{OA}$

Теперь подставим эти выражения в исходное равенство, связывающее коллинеарные векторы:

$\overline{OC} - \overline{OA} = k (\overline{OB} - \overline{OA})$

Выразим из этого уравнения вектор $\overline{OC}$:

$\overline{OC} = \overline{OA} + k(\overline{OB} - \overline{OA})$

$\overline{OC} = \overline{OA} + k \cdot \overline{OB} - k \cdot \overline{OA}$

$\overline{OC} = (1 - k)\overline{OA} + k\overline{OB}$

Полученное равенство показывает, что вектор $\overline{OC}$ является линейной комбинацией векторов $\overline{OA}$ и $\overline{OB}$ (с коэффициентами $(1-k)$ и $k$).

Согласно необходимому и достаточному условию компланарности трех векторов, если один из них можно представить в виде линейной комбинации двух других, то эти три вектора компланарны.

Таким образом, векторы $\overline{OA}$, $\overline{OB}$ и $\overline{OC}$ компланарны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ коллинеарны. Это позволяет выразить вектор $\overline{OC}$ как линейную комбинацию векторов $\overline{OA}$ и $\overline{OB}$, что по определению означает компланарность векторов $\overline{OA}$, $\overline{OB}$ и $\overline{OC}$.