Номер 0.9, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.9. Прямые $\text{OA}$, $\text{OB}$ и $\text{OC}$ взаимно перпендикулярны. Найдите $\text{BC}$, если:

1) $OA = 3 \text{ см}$, $AB = 5 \text{ см}$, $OC = 3 \text{ см}$;

2) $OA = a$, $AB = b$, $AC = c$.

Поскольку прямые OA, OB и OC взаимно перпендикулярны, это означает, что $OA \perp OB$, $OB \perp OC$ и $OA \perp OC$. Следовательно, треугольники AOB, BOC и AOC являются прямоугольными, с прямым углом при вершине O.

1) Дано: $OA = 3$ см, $AB = 5$ см, $OC = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB (угол $\angle AOB = 90^\circ$). По теореме Пифагора, $AB^2 = OA^2 + OB^2$. Мы можем найти длину катета OB:

$OB^2 = AB^2 - OA^2$

$OB^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$

$OB = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BOC (угол $\angle BOC = 90^\circ$). Мы ищем длину гипотенузы BC. По теореме Пифагора:

$BC^2 = OB^2 + OC^2$

$BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$BC = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

2) Дано: $OA = a$, $AB = b$, $AC = c$.

Аналогично первому пункту, используем теорему Пифагора для трех прямоугольных треугольников.

В прямоугольном треугольнике AOB: $AB^2 = OA^2 + OB^2$.

Подставляем известные значения: $b^2 = a^2 + OB^2$.

Отсюда выражаем $OB^2$: $OB^2 = b^2 - a^2$.

В прямоугольном треугольнике AOC: $AC^2 = OA^2 + OC^2$.

Подставляем известные значения: $c^2 = a^2 + OC^2$.

Отсюда выражаем $OC^2$: $OC^2 = c^2 - a^2$.

В прямоугольном треугольнике BOC, который нас интересует: $BC^2 = OB^2 + OC^2$.

Подставим найденные выражения для $OB^2$ и $OC^2$:

$BC^2 = (b^2 - a^2) + (c^2 - a^2)$

$BC^2 = b^2 + c^2 - 2a^2$

Следовательно, $BC = \sqrt{b^2 + c^2 - 2a^2}$.

Ответ: $\sqrt{b^2 + c^2 - 2a^2}$.