Номер 0.11, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.11. Из точки $\text{A}$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $\text{AB}$ и наклонная $\text{AC}$. Найдите:

1) длину проекции наклонной, если $AB=6 \text{ м}$, $AC=10 \text{ м}$;

2) длину наклонной, если $AB=24 \text{ см}$, $BC=10 \text{ см}$.

По условию задачи, из точки А, не лежащей в плоскости $ \alpha $, к этой плоскости проведены перпендикуляр AB и наклонная AC. Точка B является основанием перпендикуляра, а точка C — основанием наклонной. Отрезок BC, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, является проекцией наклонной AC на плоскость $ \alpha $.

Перпендикуляр AB, наклонная AC и её проекция BC образуют прямоугольный треугольник ABC, в котором угол $ \angle ABC $ является прямым ($90^\circ$). Это следует из определения перпендикуляра к плоскости: если прямая (AB) перпендикулярна плоскости ($ \alpha $), то она перпендикулярна любой прямой (BC), лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения (B).

Для нахождения неизвестных сторон в прямоугольном треугольнике ABC мы будем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

1) В этом пункте необходимо найти длину проекции наклонной (BC).

Дано: длина перпендикуляра $AB = 6$ м, длина наклонной $AC = 10$ м.

В треугольнике ABC сторона AC является гипотенузой, а AB и BC — катетами.

Выразим катет BC из теоремы Пифагора: $BC^2 = AC^2 - AB^2$.

Подставим известные значения в формулу:

$BC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$.

Теперь найдем длину BC, извлекая квадратный корень:

$BC = \sqrt{64} = 8$ м.

Ответ: 8 м.

2) В этом пункте необходимо найти длину наклонной (AC).

Дано: длина перпендикуляра $AB = 24$ см, длина проекции $BC = 10$ см.

В треугольнике ABC сторона AC является гипотенузой, которую нам нужно найти.

Используем теорему Пифагора в её стандартном виде: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Подставим известные значения в формулу:

$AC^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676$.

Теперь найдем длину AC, извлекая квадратный корень:

$AC = \sqrt{676} = 26$ см.

Ответ: 26 см.