Номер 0.16, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.16. Точка $\text{O}$ расположена вне плоскости квадрата $ABCD$. Плоскость $\alpha$, параллельная плоскости квадрата, пересекает отрезки $OA, OB, OC, OD$ в точках $A_1, B_1, C_1, D_1$ соответственно. Найдите периметр четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$, если $OA_1 : OA = 1 : 3$ и $AB = 12$ см.

По условию, точка $O$ находится вне плоскости квадрата $ABCD$. Это означает, что фигура $OABCD$ является четырёхугольной пирамидой с вершиной $O$ и основанием $ABCD$.

Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости основания $(ABC)$ и пересекает боковые рёбра пирамиды $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ соответственно. Рассмотрим треугольник $OAB$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(ABC)$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(OAB)$, то есть прямая $A_1B_1$, параллельна линии пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(OAB)$, то есть прямой $AB$. Итак, $A_1B_1 \parallel AB$.

Треугольник $OA_1B_1$ подобен треугольнику $OAB$ ($\triangle OA_1B_1 \sim \triangle OAB$) по двум углам: $\angle AOB$ — общий; $\angle OA_1B_1 = \angle OAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1B_1$ и $AB$ и секущей $OA$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{OA_1}{OA}$

По условию задачи $OA_1 : OA = 1 : 3$ и $AB = 12$ см. Подставим эти значения в полученное соотношение:

$\frac{A_1B_1}{12} = \frac{1}{3}$

Отсюда находим длину стороны $A_1B_1$:

$A_1B_1 = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4$ см.

Аналогично, рассмотрев треугольники $OBC$, $OCD$ и $ODA$, можно доказать, что $B_1C_1 \parallel BC$, $C_1D_1 \parallel CD$, $D_1A_1 \parallel DA$, и что стороны $B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1$ также равны 4 см. Следовательно, четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$ является квадратом со стороной 4 см (так как он подобен квадрату $ABCD$).

Периметр квадрата $A_1B_1C_1D_1$ вычисляется как сумма длин всех его сторон:

$P_{A_1B_1C_1D_1} = 4 \cdot A_1B_1 = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Ответ: 16 см.