Номер 0.23, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.23. Векторы $ \vec{m}, \vec{n} \text{ и } \vec{k} $ таковы, что $ \vec{m} - \vec{n} - \vec{k} = \vec{0} $, $ |\vec{m}| = 2, |\vec{n}| = 4, |\vec{k}| = 7 $. Найдите значение выражения $ \vec{n} \cdot \vec{k} - \vec{m} \cdot \vec{n} - \vec{m} \cdot \vec{k} $.

По условию задачи даны векторы $\overline{m}$, $\overline{n}$, $\overline{k}$ и их свойства: $\overline{m} - \overline{n} - \overline{k} = \overline{0}$, а также модули $|\overline{m}| = 2$, $|\overline{n}| = 4$, $|\overline{k}| = 7$. Требуется найти значение выражения $\overline{n} \cdot \overline{k} - \overline{m} \cdot \overline{n} - \overline{m} \cdot \overline{k}$.

Сначала преобразуем искомое выражение. Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения, вынесем вектор $\overline{m}$ за скобки: $ \overline{n} \cdot \overline{k} - \overline{m} \cdot \overline{n} - \overline{m} \cdot \overline{k} = \overline{n} \cdot \overline{k} - (\overline{m} \cdot \overline{n} + \overline{m} \cdot \overline{k}) = \overline{n} \cdot \overline{k} - \overline{m} \cdot (\overline{n} + \overline{k}) $.

Из данного в условии векторного равенства $\overline{m} - \overline{n} - \overline{k} = \overline{0}$ следует, что $\overline{m} = \overline{n} + \overline{k}$. Подставим это в наше преобразованное выражение: $ \overline{n} \cdot \overline{k} - \overline{m} \cdot (\overline{n} + \overline{k}) = \overline{n} \cdot \overline{k} - \overline{m} \cdot \overline{m} $.

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля), то есть $\overline{m} \cdot \overline{m} = |\overline{m}|^2$. Подставим известное значение $|\overline{m}| = 2$: $ \overline{n} \cdot \overline{k} - |\overline{m}|^2 = \overline{n} \cdot \overline{k} - 2^2 = \overline{n} \cdot \overline{k} - 4 $.

Теперь нам осталось найти значение скалярного произведения $\overline{n} \cdot \overline{k}$. Для этого снова воспользуемся равенством $\overline{m} = \overline{n} + \overline{k}$. Возведем обе части этого равенства в скалярный квадрат (то есть умножим скалярно на себя): $ \overline{m} \cdot \overline{m} = (\overline{n} + \overline{k}) \cdot (\overline{n} + \overline{k}) $.

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения: $ |\overline{m}|^2 = \overline{n} \cdot \overline{n} + \overline{n} \cdot \overline{k} + \overline{k} \cdot \overline{n} + \overline{k} \cdot \overline{k} $. $ |\overline{m}|^2 = |\overline{n}|^2 + 2(\overline{n} \cdot \overline{k}) + |\overline{k}|^2 $.

Подставим известные значения модулей векторов $|\overline{m}|=2$, $|\overline{n}|=4$ и $|\overline{k}|=7$: $ 2^2 = 4^2 + 2(\overline{n} \cdot \overline{k}) + 7^2 $. $ 4 = 16 + 2(\overline{n} \cdot \overline{k}) + 49 $. $ 4 = 65 + 2(\overline{n} \cdot \overline{k}) $.

Из этого уравнения найдем $2(\overline{n} \cdot \overline{k})$: $ 2(\overline{n} \cdot \overline{k}) = 4 - 65 = -61 $. Следовательно, $\overline{n} \cdot \overline{k} = -\frac{61}{2} = -30,5$.

Наконец, вычислим значение исходного выражения, подставив найденное значение $\overline{n} \cdot \overline{k}$ в полученную нами ранее формулу $\overline{n} \cdot \overline{k} - 4$: $ -30,5 - 4 = -34,5 $.

Ответ: $-34,5$.