Номер 0.27, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.27. Диагональ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $2\sqrt{3}$, а точки $P, Q$ и $\text{R}$ являются серединами ребер $BB_1$, $B_1C_1$ и $C_1D_1$ соответственно. Найдите периметр многоугольника, образованного пересечением куба с плоскостью $PQR$.

Пусть ребро куба равно $a$. Диагональ куба $d$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{3}$. По условию задачи, диагональ равна $2\sqrt{3}$. Следовательно, $a\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$, откуда находим длину ребра куба $a=2$.

Для нахождения многоугольника, образованного пересечением куба с плоскостью $PQR$, введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в вершине $A$, а оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ направлены вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно. Тогда вершины куба имеют следующие координаты: $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $C(2,2,0)$, $D(0,2,0)$, $A_1(0,0,2)$, $B_1(2,0,2)$, $C_1(2,2,2)$, $D_1(0,2,2)$.

Точки $P$, $Q$ и $R$ являются серединами ребер $BB_1$, $B_1C_1$ и $C_1D_1$. Найдем их координаты:

• $P$ — середина $BB_1$: $P = (\frac{2+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2}) = (2,0,1)$.
• $Q$ — середина $B_1C_1$: $Q = (\frac{2+2}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{2+2}{2}) = (2,1,2)$.
• $R$ — середина $C_1D_1$: $R = (\frac{2+0}{2}, \frac{2+2}{2}, \frac{2+2}{2}) = (1,2,2)$.

Теперь составим уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости: $\vec{PQ} = (2-2, 1-0, 2-1) = (0, 1, 1)$ $\vec{PR} = (1-2, 2-0, 2-1) = (-1, 2, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости можно найти как векторное произведение $\vec{PQ} \times \vec{PR}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1-2) - \mathbf{j}(0-(-1)) + \mathbf{k}(0-(-1)) = -1\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-1, -1, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Взяв коэффициенты из нормального вектора, получаем $-x-y+z+D=0$. Для нахождения $D$ подставим координаты точки $P(2,0,1)$: $-2-0+1+D=0 \implies -1+D=0 \implies D=1$. Итак, уравнение плоскости сечения: $-x-y+z+1=0$ или, что то же самое, $x+y-z-1=0$.

Вершины многоугольника сечения являются точками пересечения этой плоскости с ребрами куба. Три вершины ($P, Q, R$) нам известны. Найдем остальные:

• Пересечение с ребром $DD_1$ ($x=0, y=2$): $0+2-z-1=0 \implies z=1$. Получаем точку $S(0,2,1)$, которая является серединой ребра $DD_1$.
• Пересечение с ребром $AD$ ($x=0, z=0$): $0+y-0-1=0 \implies y=1$. Получаем точку $U(0,1,0)$, которая является серединой ребра $AD$.
• Пересечение с ребром $AB$ ($y=0, z=0$): $x+0-0-1=0 \implies x=1$. Получаем точку $T(1,0,0)$, которая является серединой ребра $AB$.

Таким образом, сечением является шестиугольник $PQRSTU$, вершины которого — середины ребер $BB_1, B_1C_1, C_1D_1, DD_1, DA$ и $AB$.

Для нахождения периметра необходимо вычислить длины сторон этого шестиугольника. Найдем длину стороны $PQ$: $|PQ| = \sqrt{(2-2)^2 + (1-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{0^2+1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Поскольку все вершины шестиугольника являются серединами ребер куба, из соображений симметрии все его стороны будут равны. Проверим это, вычислив длины остальных сторон: $|QR| = \sqrt{(1-2)^2 + (2-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{(-1)^2+1^2+0^2} = \sqrt{2}$. $|RS| = \sqrt{(0-1)^2 + (2-2)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{(-1)^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$. $|SU| = \sqrt{(0-0)^2 + (1-2)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0^2+(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$. $|UT| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} = \sqrt{2}$. $|TP| = \sqrt{(2-1)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Все стороны шестиугольника равны $\sqrt{2}$. Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Периметр $P_{PQRSTU} = 6 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Ответ: $6\sqrt{2}$.