Номер 0.29, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.29. Докажите, что площадь треугольника АВС, заданного на координатной плоскости, определяется формулой

$S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{AB}|^2 \cdot |\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}$

0.29. Площадь треугольника $ABC$ можно выразить через длины двух его сторон и синус угла между ними. Возьмем стороны, выходящие из вершины $A$, то есть стороны $AB$ и $AC$. Пусть угол между этими сторонами равен $\alpha$. Тогда формула площади имеет вид:

$S = \frac{1}{2} |AB| \cdot |AC| \sin{\alpha}$

Векторное представление позволяет связать длины сторон с модулями векторов, а угол между сторонами — с углом между векторами. Длины сторон $|AB|$ и $|AC|$ равны модулям векторов $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ соответственно, то есть $|AB| = |\overline{AB}|$ и $|AC| = |\overline{AC}|$. Угол $\alpha$ является углом между векторами $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$.

Таким образом, формулу площади можно записать как:

$S = \frac{1}{2} |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \sin{\alpha}$

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$. Поскольку $\alpha$ является углом в треугольнике, то $0 < \alpha < \pi$, и, следовательно, $\sin{\alpha} > 0$. Отсюда получаем:

$\sin{\alpha} = \sqrt{1 - \cos^2{\alpha}}$

Подставим это выражение в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \sqrt{1 - \cos^2{\alpha}}$

Определение скалярного произведения двух векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ таково: $\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| \cdot |\overline{b}| \cos{\alpha}$, где $\alpha$ — угол между ними. Для наших векторов:

$\overline{AB} \cdot \overline{AC} = |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \cos{\alpha}$

Из этого соотношения выразим $\cos{\alpha}$:

$\cos{\alpha} = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{AC}}{|\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}|}$

Теперь подставим это выражение для $\cos{\alpha}$ в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \sqrt{1 - \left(\frac{\overline{AB} \cdot \overline{AC}}{|\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}|}\right)^2}$

Возведем в квадрат дробь под корнем:

$S = \frac{1}{2} |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \sqrt{1 - \frac{(\overline{AB} \cdot \overline{AC})^2}{|\overline{AB}|^2 \cdot |\overline{AC}|^2}}$

Приведем выражение под корнем к общему знаменателю:

$S = \frac{1}{2} |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \sqrt{\frac{|\overline{AB}|^2 \cdot |\overline{AC}|^2 - (\overline{AB} \cdot \overline{AC})^2}{|\overline{AB}|^2 \cdot |\overline{AC}|^2}}$

Вынесем знаменатель из-под знака корня:

$S = \frac{1}{2} |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \frac{\sqrt{|\overline{AB}|^2 \cdot |\overline{AC}|^2 - (\overline{AB} \cdot \overline{AC})^2}}{\sqrt{|\overline{AB}|^2 \cdot |\overline{AC}|^2}} = \frac{1}{2} |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \frac{\sqrt{|\overline{AB}|^2 \cdot |\overline{AC}|^2 - (\overline{AB} \cdot \overline{AC})^2}}{|\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}|}$

Сократив множитель $|\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}|$, получим искомую формулу:

$S = \frac{1}{2}\sqrt{|\overline{AB}|^2 \cdot |\overline{AC}|^2 - (\overline{AB} \cdot \overline{AC})^2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.