Вопросы, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое трехгранный (многогранный) угол?

2. Какие элементы многогранного угла вы знаете?

3. Какому условию должна удовлетворять сумма плоских углов при вершине многогранного угла? Обоснуйте ответ.

4. Что такое внутренняя (внешняя, граничная) точка пространственной фигуры?

5. Что вы понимаете под понятием «геометрическое тело»?

6. Какие тела (многогранники) называются выпуклыми?

7. Какие тела называются многогранниками? Какие элементы многогранников вы знаете? Приведите пример.

8. Что такое развертка многогранника? Приведите пример.

9. Как определяется площадь полной поверхности многогранника?

1. Что такое трехгранный (многогранный) угол?

Многогранный угол — это пространственная фигура, образованная несколькими плоскими углами (гранями), имеющими общую вершину и попарно общие стороны (ребра), при этом грани не лежат в одной плоскости. Более строго, это часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, пересекающимися в одной точке. Трехгранный угол — это частный случай многогранного угла, который имеет ровно три грани. Он образован тремя лучами, выходящими из одной точки (вершины) и не лежащими в одной плоскости.

Ответ:

2. Какие элементы многогранного угла вы знаете?

Основными элементами многогранного угла являются:

• Вершина — общая точка всех граней и рёбер.
• Рёбра — лучи, выходящие из вершины, которые являются линиями пересечения соседних граней.
• Грани — плоские углы, образованные парами соседних рёбер.

• Плоские углы — величины углов, образующих грани.
• Двугранные углы — углы между плоскостями соседних граней.

Ответ:

3. Какому условию должна удовлетворять сумма плоских углов при вершине многогранного угла? Обоснуйте ответ.

Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла всегда меньше $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан).

Обоснование: Рассмотрим выпуклый многогранный угол с вершиной $O$. Пересечем все его ребра плоскостью, не проходящей через вершину. В сечении получится выпуклый многоугольник, например, $A_1A_2...A_n$. Поверхность многогранного угла состоит из треугольников $OA_1A_2, OA_2A_3, ..., OA_nA_1$. Сумма углов всех этих треугольников равна $n \cdot 180^\circ$. Эта сумма складывается из:

1) Суммы плоских углов при вершине $O$ (обозначим ее $S_O$).

2) Суммы углов при основаниях $A_1, A_2, ..., A_n$ этих треугольников.

Для каждого трехгранного угла с вершиной в точке основания (например, для угла с вершиной $A_2$, образованного ребрами $A_2A_1, A_2A_3, A_2O$) справедливо неравенство: угол многоугольника в сечении ( $\angle A_1A_2A_3$ ) меньше суммы двух других плоских углов ( $\angle OA_2A_1 + \angle OA_2A_3$ ). Просуммировав эти неравенства по всем вершинам многоугольника $A_1A_2...A_n$, получим, что сумма углов многоугольника в сечении (равная $(n-2) \cdot 180^\circ$) меньше суммы всех углов при основаниях треугольников.

Таким образом, имеем: $S_O + (\text{сумма углов при основаниях}) = n \cdot 180^\circ$ и $(\text{сумма углов при основаниях}) > (n-2) \cdot 180^\circ$. Отсюда $S_O < n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ = n \cdot 180^\circ - n \cdot 180^\circ + 360^\circ = 360^\circ$. Интуитивно это можно представить так: если бы сумма плоских углов была равна $360^\circ$, то при совмещении ребер грани образовали бы плоскость. Чтобы получить объемную фигуру, необходимо, чтобы сумма была меньше $360^\circ$, что позволяет «поднять» грани над плоскостью.

Ответ:

4. Что такое внутренняя (внешняя, граничная) точка пространственной фигуры?

Применительно к пространственной фигуре (телу) $F$:

• Внутренняя точка — это точка, которая принадлежит фигуре вместе с некоторой сферической окрестностью. То есть, можно построить шар с центром в этой точке, который целиком содержится внутри фигуры $F$.
• Граничная точка — это точка, в любой сферической окрестности которой есть как точки, принадлежащие фигуре $F$, так и точки, не принадлежащие ей. Совокупность всех граничных точек образует границу фигуры.
• Внешняя точка — это точка, которая не принадлежит фигуре, и для нее существует сферическая окрестность, также не содержащая точек фигуры $F$.

Ответ:

5. Что вы понимаете под понятием «геометрическое тело»?

Под понятием «геометрическое тело» понимают ограниченную часть трехмерного пространства, отделенную от остального пространства поверхностью, которая называется границей этого тела. Геометрическое тело включает в себя как все свои внутренние точки, так и точки своей границы. Примерами геометрических тел являются шар, куб, пирамида, конус, цилиндр.

Ответ:

6. Какие тела (многогранники) называются выпуклыми?

Тело (в частности, многогранник) называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком принадлежит этому телу.

Для многогранников существует эквивалентное определение: многогранник является выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от плоскости, содержащей любую из его граней.

Примерами выпуклых многогранников являются куб, призма, пирамида. Пример невыпуклого многогранника — звездчатый многогранник.

Ответ:

7. Какие тела называются многогранниками? Какие элементы многогранников вы знаете? Приведите пример.

Многогранниками называются геометрические тела, поверхность которых состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника.

Элементы многогранников:

• Грани — многоугольники, образующие поверхность многогранника.
• Рёбра — стороны граней, являющиеся общими для двух смежных граней.
• Вершины — точки, в которых сходятся три или более ребра (вершины граней).

• 6 граней (каждая грань — квадрат);
• 12 рёбер (равной длины);
• 8 вершин (в каждой сходится по три ребра).

Ответ:

8. Что такое развертка многогранника? Приведите пример.

Развёртка многогранника — это плоская фигура, которая получается, если поверхность многогранника разрезать вдоль некоторых рёбер и развернуть на плоскости. Эта фигура состоит из всех граней многогранника, соединенных между собой таким образом, что, согнув её по линиям соединения, можно снова собрать исходный многогранник.

Пример: развёртка куба. Она состоит из шести одинаковых квадратов. Одна из самых распространенных форм такой развёртки — крестообразная, где четыре квадрата расположены в ряд, а ещё два примыкают к одному из центральных квадратов с противоположных сторон.

Ответ:

9. Как определяется площадь полной поверхности многогранника?

Площадь полной поверхности многогранника определяется как сумма площадей всех его граней. Если многогранник имеет $n$ граней с площадями $S_1, S_2, \dots, S_n$, то площадь его полной поверхности $S_{полн}$ вычисляется по формуле:

$S_{полн} = S_1 + S_2 + \dots + S_n = \sum_{i=1}^{n} S_i$

Площадь полной поверхности многогранника также равна площади его развёртки.