Номер 0.30, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.30*. С помощью скалярного произведения найдите наибольшее значение выражения $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+1$. При каком значении х оно достигается?

Обозначим данное выражение как $E(x) = \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} + 1$.

Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$: $\begin{cases} 1+x \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 1 \end{cases} \implies x \in [-1, 1]$.

Чтобы найти наибольшее значение выражения с помощью скалярного произведения, представим часть выражения, а именно $\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}$, как скалярное произведение двух векторов.

Рассмотрим два вектора на плоскости: $\vec{a} = \{1; 1\}$ и $\vec{b} = \{\sqrt{1+x}; \sqrt{1-x}\}$.

Их скалярное произведение по определению равно сумме произведений соответствующих координат: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot \sqrt{1+x} + 1 \cdot \sqrt{1-x} = \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}$.

С другой стороны, скалярное произведение векторов равно произведению их длин (модулей) на косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\varphi}$.

Так как $\cos{\varphi} \le 1$, то для любых векторов справедливо неравенство Коши-Буняковского: $\vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

Найдем длины наших векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. $|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{1+x})^2 + (\sqrt{1-x})^2} = \sqrt{(1+x) + (1-x)} = \sqrt{1+x+1-x} = \sqrt{2}$.

Теперь подставим найденные длины в неравенство Коши-Буняковского: $\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \le \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$, $\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \le 2$.

Вернемся к исходному выражению $E(x)$: $E(x) = (\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}) + 1 \le 2 + 1 = 3$.

Таким образом, мы показали, что значение выражения не может быть больше 3. Наибольшее значение равно 3.

Это значение достигается, когда в неравенстве Коши-Буняковского выполняется равенство, то есть когда $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$. Это происходит, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и сонаправлены (угол между ними равен 0).

Условие коллинеарности векторов $\vec{a} = \{a_1; a_2\}$ и $\vec{b} = \{b_1; b_2\}$ — это пропорциональность их координат: $\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2}$. Для сонаправленных векторов это отношение должно быть положительным.

Для наших векторов $\vec{a} = \{1; 1\}$ и $\vec{b} = \{\sqrt{1+x}; \sqrt{1-x}\}$ получаем: $\frac{\sqrt{1+x}}{1} = \frac{\sqrt{1-x}}{1}$.

Решим полученное уравнение: $\sqrt{1+x} = \sqrt{1-x}$. Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат: $1+x = 1-x$, $2x = 0$, $x=0$.

Это значение $x=0$ принадлежит ОДЗ $x \in [-1, 1]$. При $x=0$ векторы сонаправлены, так как $\vec{b} = \{\sqrt{1}; \sqrt{1}\} = \{1; 1\} = \vec{a}$. Значит, наибольшее значение выражения достигается при $x=0$.

Ответ: Наибольшее значение выражения равно 3, и оно достигается при $x=0$.