Номер 0.25, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.25*. Определите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от вершин треугольника $ABC$.

Пусть искомое геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек $M$ в пространстве, для которых выполняется условие $MA = MB = MC$, где $A$, $B$, $C$ — вершины треугольника.

Рассмотрим сначала ГМТ, равноудаленных от двух вершин, например, $A$ и $B$. Множество точек $M$, для которых $MA = MB$, представляет собой плоскость $\pi_1$, перпендикулярную отрезку $AB$ и проходящую через его середину. Эта плоскость называется срединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Аналогично, ГМТ, равноудаленных от вершин $B$ и $C$ ($MB = MC$), есть плоскость $\pi_2$, являющаяся срединным перпендикуляром к отрезку $BC$.

Точки $M$, удовлетворяющие условию $MA = MB = MC$, должны принадлежать одновременно обеим плоскостям $\pi_1$ и $\pi_2$. То есть, искомое ГМТ является подмножеством линии пересечения этих двух плоскостей. Так как вершины $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой, отрезки $AB$ и $BC$ не коллинеарны, а значит, плоскости $\pi_1$ и $\pi_2$ не параллельны и пересекаются по прямой линии $l$.

Для любой точки $M$, лежащей на прямой $l$, выполняются равенства $MA=MB$ и $MB=MC$, из чего следует, что $MA=MC$. Это означает, что любая точка прямой $l$ также равноудалена от вершин $A$ и $C$ и, следовательно, принадлежит плоскости $\pi_3$ — срединному перпендикуляру к отрезку $AC$. Таким образом, искомое ГМТ есть прямая $l$, являющаяся линией пересечения трех плоскостей $\pi_1$, $\pi_2$ и $\pi_3$.

Определим положение этой прямой $l$. Плоскость треугольника $ABC$ обозначим как $\alpha$. Так как прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, а плоскость $\pi_1$ перпендикулярна $AB$, то плоскость $\pi_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Аналогично, плоскость $\pi_2$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Прямая $l$, являясь линией пересечения плоскостей $\pi_1$ и $\pi_2$, перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Найдем точку, через которую проходит прямая $l$. Так как $l$ пересекает плоскость $\alpha$, точка их пересечения (обозначим ее $O$) должна принадлежать $l$. Для этой точки $O$ выполняется условие $OA = OB = OC$, и при этом она лежит в плоскости треугольника. Точка в плоскости треугольника, равноудаленная от его вершин, является центром описанной около него окружности. Эта точка $O$ также является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника $ABC$ в его плоскости.

Следовательно, искомое геометрическое место точек — это прямая, проходящая через центр описанной около треугольника $ABC$ окружности и перпендикулярная его плоскости.

Ответ: прямая, перпендикулярная плоскости треугольника и проходящая через центр окружности, описанной около этого треугольника.