Номер 1.1, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.1. Изобразите многогранник, имеющий 4 грани. Сколько вершин и ребер имеет этот многогранник?

Многогранник, имеющий 4 грани, называется тетраэдром. Это простейший многогранник. Каждая его грань представляет собой треугольник. В качестве примера можно взять треугольную пирамиду.

Чтобы изобразить тетраэдр, можно нарисовать треугольник в основании (например, $ABC$) и выбрать точку $D$ вне плоскости этого треугольника. Соединив точку $D$ с каждой вершиной треугольника ($A$, $B$ и $C$), мы получим три боковые грани ($ABD$, $BCD$, $ACD$) и основание ($ABC$). Всего 4 грани.

Теперь посчитаем количество вершин и ребер этого многогранника.

Количество вершин:

Вершины — это точки, в которых сходятся ребра. У тетраэдра $DABC$ это точки $A$, $B$, $C$ (вершины основания) и точка $D$ (вершина пирамиды).

Итого: 4 вершины.

Количество ребер:

Ребра — это отрезки, соединяющие вершины. У тетраэдра есть 3 ребра в основании ($AB$, $BC$, $CA$) и 3 боковых ребра, идущих к вершине $D$ ($DA$, $DB$, $DC$).

Итого: $3 + 3 = 6$ ребер.

Для проверки можно использовать формулу Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число ребер, $Г$ — число граней.

Подставим наши значения: $В = 4$, $Р = 6$, $Г = 4$.

$4 - 6 + 4 = 2$.

$2 = 2$.

Равенство выполняется, следовательно, подсчеты верны.

Ответ: этот многогранник имеет 4 вершины и 6 ребер.