Номер 1.8, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.8. Через $\text{n}$, $\text{m}$ и $\text{k}$ обозначим количество вершин, ребер и граней многогранника соответственно. По следующим данным найдите неизвестный элемент:

1) $n=4$, $m=6$;

2) $n=8$, $k=6$;

3) $m=18$, $k=8$.

Для решения задачи используется теорема Эйлера для выпуклых многогранников. Эта теорема устанавливает связь между количеством вершин ($n$), рёбер ($m$) и граней ($k$) по формуле: $n - m + k = 2$. Используя эту формулу, найдём неизвестный элемент для каждого случая.

1) Дано: количество вершин $n=4$, количество рёбер $m=6$. Необходимо найти количество граней $k$.

Подставим известные значения в формулу Эйлера:

$4 - 6 + k = 2$

Упростим левую часть уравнения:

$-2 + k = 2$

Выразим $k$:

$k = 2 + 2$

$k = 4$

Ответ: $k=4$.

2) Дано: количество вершин $n=8$, количество граней $k=6$. Необходимо найти количество рёбер $m$.

Подставим известные значения в формулу Эйлера:

$8 - m + 6 = 2$

Упростим левую часть уравнения:

$14 - m = 2$

Выразим $m$:

$m = 14 - 2$

$m = 12$

Ответ: $m=12$.

3) Дано: количество рёбер $m=18$, количество граней $k=8$. Необходимо найти количество вершин $n$.

Подставим известные значения в формулу Эйлера:

$n - 18 + 8 = 2$

Упростим левую часть уравнения:

$n - 10 = 2$

Выразим $n$:

$n = 2 + 10$

$n = 12$

Ответ: $n=12$.