Номер 1.15, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.15. Из точки вне плоскости проведены две наклонные, образующие с данной плоскостью углы, равные $60^\circ$ и $20^\circ$. В каких пределах может меняться угол между этими наклонными?

Пусть $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ — единичные векторы, сонаправленные с двумя данными наклонными, выходящими из одной точки $P$. Пусть плоскость, к которой проведены наклонные, проходит через некоторую точку, а нормаль к этой плоскости — единичный вектор $\vec{n}$. Угол $\theta$ между наклонной (вектором) и плоскостью связан с углом $\psi$ между вектором наклонной и нормалью к плоскости соотношением $\psi = 90^\circ - \theta$.

Для первой наклонной угол с плоскостью $\theta_1 = 60^\circ$, следовательно, угол с нормалью $\psi_1 = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Для второй наклонной угол с плоскостью $\theta_2 = 20^\circ$, следовательно, угол с нормалью $\psi_2 = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$.

Искомый угол $\gamma$ между наклонными — это угол между векторами $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$. Его косинус можно найти через скалярное произведение: $\cos(\gamma) = \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2$.

Для вычисления скалярного произведения введём удобную систему координат. Пусть точка $P$ находится в начале координат, а вектор нормали $\vec{n}$ совпадает с осью $Oz$, то есть $\vec{n}=(0,0,1)$. Проекции векторов $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ на плоскость, перпендикулярную $\vec{n}$ (плоскость $xy$), образуют между собой некоторый угол $\phi$, который может меняться от $0^\circ$ до $180^\circ$.

В этой системе координат векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ можно записать в сферических координатах. Повернув систему так, чтобы проекция $\vec{v}_1$ лежала на оси $Ox$, получим:

$\vec{v}_1 = (\sin\psi_1, 0, \cos\psi_1) = (\sin 30^\circ, 0, \cos 30^\circ)$

$\vec{v}_2 = (\sin\psi_2\cos\phi, \sin\psi_2\sin\phi, \cos\psi_2) = (\sin 70^\circ\cos\phi, \sin 70^\circ\sin\phi, \cos 70^\circ)$

Тогда их скалярное произведение равно:

$\cos\gamma = \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = \sin 30^\circ \sin 70^\circ \cos\phi + 0 + \cos 30^\circ \cos 70^\circ$

$\cos\gamma = \cos 30^\circ \cos 70^\circ + \sin 30^\circ \sin 70^\circ \cos\phi$

Используя формулы приведения $\sin(x) = \cos(90^\circ-x)$ и $\cos(x) = \sin(90^\circ-x)$, заменим углы $\psi_1=30^\circ$ и $\psi_2=70^\circ$ на исходные углы с плоскостью $\theta_1=60^\circ$ и $\theta_2=20^\circ$:

$\cos\gamma = \sin 60^\circ \sin 20^\circ + \cos 60^\circ \cos 20^\circ \cos\phi$

Значение $\cos\gamma$ является линейной функцией от $\cos\phi$. Поскольку $\phi$ может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$, $\cos\phi$ изменяется в диапазоне $[-1, 1]$.

Крайние значения $\cos\gamma$ достигаются при $\cos\phi = 1$ и $\cos\phi = -1$.

При $\cos\phi = 1$ (когда проекции наклонных сонаправлены), получаем максимальное значение $\cos\gamma$, что соответствует минимальному углу $\gamma_{min}$:

$\cos\gamma_{min} = \sin 60^\circ \sin 20^\circ + \cos 60^\circ \cos 20^\circ = \cos(60^\circ - 20^\circ) = \cos 40^\circ$.

Следовательно, $\gamma_{min} = 40^\circ$.

При $\cos\phi = -1$ (когда проекции наклонных противоположно направлены), получаем минимальное значение $\cos\gamma$, что соответствует максимальному углу $\gamma_{max}$:

$\cos\gamma_{max} = \sin 60^\circ \sin 20^\circ - \cos 60^\circ \cos 20^\circ = -(\cos 60^\circ \cos 20^\circ - \sin 60^\circ \sin 20^\circ) = -\cos(60^\circ + 20^\circ) = -\cos 80^\circ$.

Поскольку $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$, то $\cos\gamma_{max} = \cos(180^\circ - 80^\circ) = \cos 100^\circ$.

Следовательно, $\gamma_{max} = 100^\circ$.

Таким образом, угол между наклонными может меняться в пределах от $40^\circ$ до $100^\circ$.

Ответ: Угол может меняться в пределах от $40^\circ$ до $100^\circ$.