Номер 1.21, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.21. Используя условие задачи 1.18 и условие $OA=OB=OC=a$, найдите площадь полной поверхности пирамиды $OABC$.

1.18. В трехгранном угле $OABC$ дано: $\angle BOC=90^\circ$, $\angle AOB = \angle AOC = 60^\circ$, $OA=OB=OC$. Докажите, что плоскости $ABC$ и $BOC$ перпендикулярны.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площадей всех ее граней: основания $\triangle ABC$ и боковых граней $\triangle OAB$, $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$.

$S_{полн} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle OAB} + S_{\triangle OAC} + S_{\triangle OBC}$

1. Найдем площади боковых граней.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

• Для грани $OAB$ имеем: $OA=a$, $OB=a$, $\angle AOB = 60^{\circ}$.

  $S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(60^{\circ}) = \frac{1}{2}a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

  (Заметим, что так как $\triangle OAB$ равнобедренный с углом $60^{\circ}$ при вершине, он является равносторонним.)

• Для грани $OAC$ имеем: $OA=a$, $OC=a$, $\angle AOC = 60^{\circ}$.

  Аналогично, $\triangle OAC$ является равносторонним, и его площадь:

  $S_{\triangle OAC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

• Для грани $OBC$ имеем: $OB=a$, $OC=a$, $\angle BOC = 90^{\circ}$.

  Это прямоугольный треугольник, и его площадь:

  $S_{\triangle OBC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{a^2}{2}$.

2. Найдем площадь основания $\triangle ABC$.

Для этого сначала определим длины сторон треугольника $ABC$.

• Сторона $AB$ является стороной равностороннего треугольника $OAB$, поэтому $AB=a$.

• Сторона $AC$ является стороной равностороннего треугольника $OAC$, поэтому $AC=a$.

• Сторону $BC$ найдем из прямоугольного треугольника $OBC$ по теореме Пифагора:

  $BC^2 = OB^2 + OC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

  $BC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь мы знаем все стороны основания $\triangle ABC$: $AB=a$, $AC=a$, $BC=a\sqrt{2}$.

Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора: $AB^2 + AC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. $BC^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2$. Поскольку $AB^2 + AC^2 = BC^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине произведения его катетов:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$.

3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды.

Сложим площади всех четырех граней:

$S_{полн} = S_{\triangle OAB} + S_{\triangle OAC} + S_{\triangle OBC} + S_{\triangle ABC}$

$S_{полн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}$

$S_{полн} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 2 \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + a^2$

Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки и приведем к общему знаменателю:

$S_{полн} = a^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) = \frac{a^2(2+\sqrt{3})}{2}$

Ответ: $S_{полн} = \frac{a^2(2+\sqrt{3})}{2}$.