Номер 1.25, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.25. Плоские углы трехгранного угла равны $45^\circ$, $45^\circ$ и $60^\circ$. Найдите угол между гранями, плоские углы которых равны $45^\circ$.

Пусть дан трехгранный угол с вершиной в точке $O$ и ребрами $a$, $b$ и $c$. По условию, его плоские углы равны $45^\circ$, $45^\circ$ и $60^\circ$. Обозначим эти углы: $\angle aob = 45^\circ$, $\angle aoc = 45^\circ$ и $\angle boc = 60^\circ$.

Требуется найти угол между гранями, плоские углы которых равны $45^\circ$. Это грани, образованные парами ребер $(a, b)$ и $(a, c)$. Угол между этими гранями является двугранным углом при общем ребре $a$.

Для нахождения величины этого двугранного угла построим его линейный угол. Для этого выберем на ребре $a$ произвольную точку $P$, отличную от вершины $O$. Для удобства вычислений положим длину отрезка $OP = 1$.

В плоскости грани $(a, b)$ проведем из точки $P$ перпендикуляр $PQ$ к ребру $a$, где точка $Q$ лежит на ребре $b$. В плоскости грани $(a, c)$ проведем из точки $P$ перпендикуляр $PR$ к ребру $a$, где точка $R$ лежит на ребре $c$. По определению, угол $\angle QPR$ является линейным углом искомого двугранного угла, и его величина равна величине двугранного угла.

Рассмотрим треугольник $\triangle OPQ$. Он является прямоугольным, так как $\angle OPQ = 90^\circ$ по построению. Угол при вершине $O$ равен $\angle POQ = \angle aob = 45^\circ$. Найдем длины катета $PQ$ и гипотенузы $OQ$: $PQ = OP \cdot \tan(\angle POQ) = 1 \cdot \tan(45^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$. $OQ = \frac{OP}{\cos(\angle POQ)} = \frac{1}{\cos(45^\circ)} = \frac{1}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2}$.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle OPR$. Он также прямоугольный ($\angle OPR = 90^\circ$) и $\angle POR = \angle aoc = 45^\circ$. Найдем длины сторон $PR$ и $OR$: $PR = OP \cdot \tan(\angle POR) = 1 \cdot \tan(45^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$. $OR = \frac{OP}{\cos(\angle POR)} = \frac{1}{\cos(45^\circ)} = \frac{1}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OQR$. Нам известны длины двух его сторон $OQ = \sqrt{2}$, $OR = \sqrt{2}$ и угол между ними $\angle QOR = \angle boc = 60^\circ$. Поскольку $\triangle OQR$ является равнобедренным с углом при вершине $60^\circ$, он также является равносторонним. Следовательно, длина третьей стороны $QR$ также равна $\sqrt{2}$.

Наконец, рассмотрим треугольник $\triangle PQR$, угол $\angle QPR$ которого мы ищем. Мы знаем длины всех его трех сторон: $PQ=1$, $PR=1$ и $QR=\sqrt{2}$. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора: $PQ^2 + PR^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$. $QR^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Так как $PQ^2 + PR^2 = QR^2$, то по теореме, обратной теореме Пифагора, мы можем заключить, что треугольник $\triangle PQR$ является прямоугольным, и его прямой угол — это $\angle QPR$. Следовательно, величина искомого угла между гранями равна $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.