Номер 1.31, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.31*. Определите геометрическое место точек, равноудаленных от всех граней трехгранного угла.

Пусть дан трехгранный угол с вершиной в точке $O$ и гранями (плоскостями) $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ) $M$, для которых расстояние до каждой из граней одинаково. Обозначим расстояние от точки $M$ до плоскости $\pi$ как $d(M, \pi)$. Условие задачи можно записать в виде равенства: $d(M, \alpha) = d(M, \beta) = d(M, \gamma)$.

Сначала рассмотрим ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей, например, от граней $\alpha$ и $\beta$. Известно, что такое ГМТ представляет собой пару биссекторных плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Поскольку нас интересуют точки, находящиеся внутри трехгранного угла, мы будем рассматривать биссекторную плоскость, проходящую внутри этого угла.

Пусть $\Pi_{\alpha\beta}$ — это биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла между гранями $\alpha$ и $\beta$. Для любой точки $M$, принадлежащей этой плоскости ($M \in \Pi_{\alpha\beta}$), выполняется равенство $d(M, \alpha) = d(M, \beta)$.

Аналогично, пусть $\Pi_{\beta\gamma}$ — биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла между гранями $\beta$ и $\gamma$. Для любой точки $M$, принадлежащей этой плоскости ($M \in \Pi_{\beta\gamma}$), выполняется равенство $d(M, \beta) = d(M, \gamma)$.

Точки, которые мы ищем, должны удовлетворять обоим условиям одновременно, то есть они должны принадлежать пересечению этих двух биссекторных плоскостей: $M \in \Pi_{\alpha\beta} \cap \Pi_{\beta\gamma}$.

Обе биссекторные плоскости $\Pi_{\alpha\beta}$ и $\Pi_{\beta\gamma}$ проходят через вершину трехгранного угла $O$. Две различные плоскости, проходящие через одну и ту же точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (если плоскости не совпадают, что в данном случае и происходит). Обозначим эту прямую пересечения как $l$.

Для любой точки $M$, лежащей на прямой $l$, выполняются равенства $d(M, \alpha) = d(M, \beta)$ и $d(M, \beta) = d(M, \gamma)$. Из этого по свойству транзитивности следует, что $d(M, \alpha) = d(M, \gamma)$. Это означает, что любая точка на прямой $l$ также равноудалена от граней $\alpha$ и $\gamma$ и, следовательно, принадлежит биссекторной плоскости $\Pi_{\alpha\gamma}$ двугранного угла между этими гранями.

Таким образом, все три биссекторные плоскости внутренних двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одной прямой $l$, проходящей через его вершину $O$.

Точки искомого геометрического места должны находиться внутри трехгранного угла. Прямая $l$ состоит из двух лучей, исходящих из вершины $O$ в противоположных направлениях. Только один из этих лучей будет расположен внутри трехгранного угла.

Следовательно, искомое геометрическое место точек — это луч, исходящий из вершины трехгранного угла и расположенный внутри него.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудаленных от всех граней трехгранного угла, есть луч, выходящий из вершины этого угла и являющийся пересечением биссекторных плоскостей его внутренних двугранных углов.