Номер 1.33, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.33. 1) Из вершины прямого угла $\text{B}$ прямоугольного треугольника $ABC$ опущена высота $\text{BD}$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB=13$, $BD=12$.

2) $\text{AH}$ - высота прямоугольного треугольника $ABC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $CH=3$, $AC=5$ и $\angle A = 90^\circ$.

1) Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$. Высота, опущенная из вершины $B$ на гипотенузу $AC$, равна $BD=12$. Длина катета $AB=13$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $BD$ — высота к стороне $AC$, то угол $\angle BDA = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABD$ является прямоугольным с гипотенузой $AB$.

По теореме Пифагора для треугольника $ABD$ имеем: $AD^2 + BD^2 = AB^2$.

Подставим известные значения: $AD^2 + 12^2 = 13^2$.

$AD^2 + 144 = 169$

$AD^2 = 169 - 144 = 25$

$AD = \sqrt{25} = 5$.

Треугольники $ABC$ и $ADB$ подобны по двум углам (оба прямоугольные и имеют общий острый угол $A$). Из подобия следует соотношение сторон: $\frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AD}$.

Отсюда можем найти длину гипотенузы $AC$: $AC = \frac{AB^2}{AD} = \frac{13^2}{5} = \frac{169}{5}$.

Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$. В качестве основания возьмем гипотенузу $AC$, а в качестве высоты — $BD$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times \frac{169}{5} \times 12 = \frac{169 \times 6}{5} = \frac{1014}{5} = 202,8$.

Ответ: $202,8$.

2) Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ ($\angle A = 90^\circ$). $AH$ — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $BC$. Известно, что $CH=3$ (проекция катета $AC$ на гипотенузу) и $AC=5$.

Рассмотрим треугольник $AHC$. Так как $AH$ — высота, то угол $\angle AHC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $AHC$ является прямоугольным с гипотенузой $AC$.

По теореме Пифагора для треугольника $AHC$ имеем: $AH^2 + CH^2 = AC^2$.

Подставим известные значения: $AH^2 + 3^2 = 5^2$.

$AH^2 + 9 = 25$

$AH^2 = 25 - 9 = 16$

$AH = \sqrt{16} = 4$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ квадрат высоты, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $AH^2 = BH \times CH$.

Подставим известные значения, чтобы найти $BH$ (проекцию катета $AB$ на гипотенузу): $4^2 = BH \times 3$.

$16 = 3 \times BH$

$BH = \frac{16}{3}$.

Теперь найдем длину гипотенузы $BC$: $BC = BH + CH = \frac{16}{3} + 3 = \frac{16+9}{3} = \frac{25}{3}$.

Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$. В качестве основания возьмем гипотенузу $BC$, а в качестве высоты — $AH$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times \frac{25}{3} \times 4 = \frac{100}{6} = \frac{50}{3}$.

Ответ: $\frac{50}{3}$.