Номер 1.27, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.27. Найдите площадь полной поверхности и диагональ прямоугольного параллелепипеда, если площади двух смежных граней равны $S_1$ и $S_2$, а общее ребро этих граней - $\text{a}$.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a, b, c$. Грани параллелепипеда — это прямоугольники. По условию, площади двух смежных граней равны $S_1$ и $S_2$, а их общее ребро равно $a$. Пусть первая грань имеет ребра $a$ и $b$, а вторая, смежная с ней, — ребра $a$ и $c$. Тогда их площади можно записать как:

$S_1 = a \cdot b$

$S_2 = a \cdot c$

Из этих соотношений выразим длины ребер $b$ и $c$ через известные величины:

$b = \frac{S_1}{a}$

$c = \frac{S_2}{a}$

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется как сумма площадей всех его шести граней. Поскольку у параллелепипеда три пары равных граней (с площадями $ab$, $ac$ и $bc$), формула имеет вид:

$S_{полн} = 2(ab + ac + bc)$

Мы уже знаем, что $ab = S_1$ и $ac = S_2$. Нам нужно найти площадь третьей грани $S_3 = bc$. Используя выражения для $b$ и $c$, получаем:

$bc = \frac{S_1}{a} \cdot \frac{S_2}{a} = \frac{S_1S_2}{a^2}$

Теперь подставим все значения в формулу для площади полной поверхности:

$S_{полн} = 2(S_1 + S_2 + \frac{S_1S_2}{a^2})$

Ответ: $2(S_1 + S_2 + \frac{S_1S_2}{a^2})$

Диагональ

Квадрат диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (пространственная теорема Пифагора):

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим в эту формулу выражения для $b$ и $c$, которые мы нашли ранее:

$d^2 = a^2 + (\frac{S_1}{a})^2 + (\frac{S_2}{a})^2 = a^2 + \frac{S_1^2}{a^2} + \frac{S_2^2}{a^2}$

Следовательно, диагональ $d$ равна квадратному корню из полученного выражения:

$d = \sqrt{a^2 + \frac{S_1^2}{a^2} + \frac{S_2^2}{a^2}}$

Ответ: $\sqrt{a^2 + \frac{S_1^2 + S_2^2}{a^2}}$