Номер 1.22, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.22. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, одна из граней которого является квадратом, равна $\text{2a}$. Сторона квадратной грани равна $\text{a}$. Найдите:

1) длину других ребер;

2) площадь полной поверхности (рис. 1.13).

Рис. 1.13

1) длину других ребер

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $x, y, z$. По условию, одна из граней является квадратом со стороной $a$. Пусть это будет основание. Тогда два измерения равны $a$, то есть $x = a$ и $y = a$. Третье ребро, длину которого нужно найти, обозначим как $z$.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда $(d)$ равен сумме квадратов трех его измерений:

$d^2 = x^2 + y^2 + z^2$

По условию задачи, диагональ $d = 2a$. Подставим известные значения в формулу:

$(2a)^2 = a^2 + a^2 + z^2$

$4a^2 = 2a^2 + z^2$

Теперь выразим $z^2$:

$z^2 = 4a^2 - 2a^2 = 2a^2$

Найдем длину $z$, взяв квадратный корень:

$z = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Таким образом, длина других ребер, которые не являются сторонами квадратной грани, равна $a\sqrt{2}$.

Ответ: $a\sqrt{2}$

2) площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда $(S_{полн})$ вычисляется по формуле:

$S_{полн} = 2(xy + yz + xz)$

Мы знаем измерения нашего параллелепипеда: $x = a$, $y = a$ и $z = a\sqrt{2}$ (из пункта 1). Подставим эти значения в формулу:

$S_{полн} = 2(a \cdot a + a \cdot a\sqrt{2} + a\sqrt{2} \cdot a)$

$S_{полн} = 2(a^2 + a^2\sqrt{2} + a^2\sqrt{2})$

Сложим подобные слагаемые в скобках:

$S_{полн} = 2(a^2 + 2a^2\sqrt{2})$

Вынесем общий множитель $2a^2$ за скобки:

$S_{полн} = 2a^2(1 + 2\sqrt{2})$

Ответ: $2a^2(1 + 2\sqrt{2})$