Номер 1.18, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.18. В трехгранном угле $OABC$ дано: $\angle BOC=90^\circ$, $\angle AOB=\angle AOC=60^\circ$, $OA=OB=OC$. Докажите, что плоскости $ABC$ и $BOC$ перпендикулярны.

Пусть $OA = OB = OC = a$.

Рассмотрим треугольники, образованные ребрами трехгранного угла.

1. Треугольник $BOC$ является прямоугольным и равнобедренным, так как по условию $\angle BOC = 90^\circ$ и $OB=OC=a$. По теореме Пифагора найдем длину стороны $BC$: $BC^2 = OB^2 + OC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $BC = a\sqrt{2}$.

2. Треугольник $AOB$ является равнобедренным ($OA=OB=a$) с углом при вершине $\angle AOB = 60^\circ$. Следовательно, треугольник $AOB$ равносторонний, и $AB=OA=OB=a$.

3. Аналогично, треугольник $AOC$ является равнобедренным ($OA=OC=a$) с углом при вершине $\angle AOC = 60^\circ$. Следовательно, треугольник $AOC$ также равносторонний, и $AC=OA=OC=a$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Мы знаем длины его сторон: $AB = a$, $AC = a$, $BC = a\sqrt{2}$. Поскольку $AB=AC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

Для доказательства перпендикулярности плоскостей $ABC$ и $BOC$ воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Докажем, что в плоскости $ABC$ существует прямая, перпендикулярная плоскости $BOC$.

Проведем медиану $AM$ к основанию $BC$ в равнобедренном треугольнике $ABC$. Медиана $AM$ в равнобедренном треугольнике является также и высотой, следовательно, $AM \perp BC$.

Теперь докажем, что прямая $AM$ перпендикулярна плоскости $BOC$. Для этого нужно показать, что $AM$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $BOC$. Одной такой прямой является $BC$. Найдем вторую.

Проведем медиану $OM$ в треугольнике $BOC$. Так как $ΔBOC$ равнобедренный ($OB=OC$), медиана $OM$ к основанию $BC$ является также и высотой, то есть $OM \perp BC$.

Таким образом, угол $\angle AMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $BOC$. Если мы докажем, что $\angle AMO = 90^\circ$, то плоскости будут перпендикулярны.

Найдем длины сторон треугольника $AMO$ для проверки по обратной теореме Пифагора.

• $OA = a$ (по условию).
• В прямоугольном треугольнике $BOC$ медиана $OM$, проведенная к гипотенузе $BC$, равна половине гипотенузы: $OM = \frac{1}{2}BC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
• В треугольнике $ABC$ найдем длину высоты $AM$. Из прямоугольного треугольника $AMB$ ($M$ – середина $BC$, $BM = \frac{BC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$), по теореме Пифагора: $AM^2 = AB^2 - BM^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = a^2 - \frac{2a^2}{4} = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$. Значит, $AM = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Проверим для треугольника $AMO$ выполнение теоремы Пифагора: $AM^2 + OM^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2a^2}{4} + \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = a^2$. $OA^2 = a^2$.

Поскольку $AM^2 + OM^2 = OA^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $AMO$ является прямоугольным, и $\angle AMO = 90^\circ$.

Это означает, что $AM \perp OM$. Так как мы ранее установили, что $AM \perp BC$, а прямые $OM$ и $BC$ пересекаются в точке $M$ и лежат в плоскости $BOC$, то прямая $AM$ перпендикулярна плоскости $BOC$ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Поскольку прямая $AM$ лежит в плоскости $ABC$ и перпендикулярна плоскости $BOC$, то плоскость $ABC$ перпендикулярна плоскости $BOC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.