Номер 1.20, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.20. Все плоские углы трехгранного угла $OABC$ равны $90^\circ$, а точка $\text{D}$ равноудалена от всех его граней. Найдите это расстояние, если $OD = 4\sqrt{3} \text{ см}$ (рис.1.12).

Рис. 1.12

Поскольку все плоские углы трехгранного угла OABC прямые (∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 90°), мы можем ввести прямоугольную систему координат. Поместим вершину O в начало координат (0, 0, 0), а лучи OA, OB и OC направим вдоль осей Ox, Oy и Oz соответственно.

В этой системе координат грани трехгранного угла будут лежать в координатных плоскостях:

• Грань OAB — в плоскости xOy (уравнение z=0)
• Грань OBC — в плоскости yOz (уравнение x=0)
• Грань OAC — в плоскости xOz (уравнение y=0)

Точка D равноудалена от всех его граней. Пусть это расстояние равно $d$. Расстояние от точки с координатами $(x_D, y_D, z_D)$ до координатных плоскостей равно, соответственно, $|x_D|$, $|y_D|$ и $|z_D|$. Так как точка D находится внутри трехгранного угла, ее координаты положительны. Следовательно, расстояния до граней равны $x_D$, $y_D$, и $z_D$.

По условию $x_D = y_D = z_D = d$. Таким образом, точка D имеет координаты $(d, d, d)$.

Нам дано расстояние от начала координат O(0, 0, 0) до точки D, которое равно $OD = 4\sqrt{3}$ см. Найдем это расстояние, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

$OD = \sqrt{(x_D - 0)^2 + (y_D - 0)^2 + (z_D - 0)^2}$

Подставим координаты точки D:

$OD = \sqrt{d^2 + d^2 + d^2} = \sqrt{3d^2} = d\sqrt{3}$

Теперь приравняем полученное выражение к значению, данному в условии:

$d\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{3}$, получаем:

$d = 4$

Таким образом, расстояние от точки D до каждой из граней трехгранного угла равно 4 см.

Ответ: 4 см.