Номер 1.26, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.26. Сколько острых двугранных углов (углы между смежными гранями) может иметь выпуклый многогранник?

Вопрос о возможном количестве острых двугранных углов у выпуклого многогранника является классической и довольно сложной задачей геометрии. Ответ на него дается на основе нескольких теорем, доказанных в середине 20-го века.

Выясняется, что выпуклый многогранник может иметь $k$ острых двугранных углов для любого целого неотрицательного числа $k$, за исключением $k=1, 2, 3$ и $5$.

Невозможность существования многогранников с 1, 2 или 3 острыми углами была доказана советским математиком А. В. Погореловым. Невозможность существования многогранника с 5 острыми углами была доказана Я. С. Ерохиным.

Приведем примеры многогранников для некоторых возможных значений $k$:

0 острых углов

Примером является куб. Все его 12 двугранных углов являются прямыми ($90^\circ$), поэтому он не имеет острых углов.

Ответ: 0 острых углов возможно.

4 острых угла

Рассмотрим прямую призму, основанием которой является четырехугольник, все углы которого острые (например, можно немного "сжать" прямоугольник по диагонали). У такой призмы 4 двугранных угла между боковыми гранями будут острыми, а остальные 8 двугранных углов (между основаниями и боковыми гранями) будут прямыми. Таким образом, у этого многогранника ровно 4 острых двугранных угла.

Ответ: 4 острых угла возможно.

6 острых углов

Примером является правильный тетраэдр. Все 6 его двугранных углов равны $\arccos(1/3) \approx 70.53^\circ$, то есть все они острые.

Ответ: 6 острых углов возможно.

Любое четное число острых углов $k \ge 6$

Рассмотрим правильную $n$-угольную пирамиду, где $n = k/2$. У такой пирамиды $k$ рёбер и, соответственно, $k$ двугранных углов ($n$ углов при основании и $n$ углов между боковыми гранями). Если сделать такую пирамиду достаточно "плоской" (то есть взять очень малую высоту по сравнению с размерами основания), то все $k$ её двугранных углов станут острыми. Выбирая $n=3, 4, 5, \ldots$, мы можем построить многогранники с $6, 8, 10, \ldots$ острыми углами.

Ответ: любое четное число острых углов $k \ge 6$ возможно.

Любое нечетное число острых углов $k \ge 7$

Построение примеров для нечетных чисел сложнее. Обычно они строятся путем модификации многогранников с четным числом острых углов. Например, можно взять "плоскую" пирамиду с $k+1$ острым углом и специальным образом "срезать" одну из её вершин так, чтобы общее число острых углов стало равно $k$. Существование таких конструкций доказано для всех $k \ge 7$.

Ответ: любое нечетное число острых углов $k \ge 7$ возможно.

Таким образом, объединяя все случаи, получаем окончательный вывод.

Ответ: Выпуклый многогранник может иметь любое целое неотрицательное число острых двугранных углов, кроме 1, 2, 3 и 5.