Номер 1.28, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.28. Одно ребро треугольной пирамиды равно a, а другие – b. Докажите, что верно неравенство $0 < a < b\sqrt{3}$.

Пусть в треугольной пирамиде (тетраэдре) с вершинами $V_1, V_2, V_3, V_4$ одно ребро имеет длину $a$, а остальные пять рёбер — длину $b$. Такая конфигурация рёбер единственна с точностью до изометрии. Без ограничения общности, пусть ребро $V_1V_2$ имеет длину $a$. Тогда длины всех остальных рёбер, соединяющих пары вершин, равны $b$: $d(V_1, V_3) = d(V_1, V_4) = d(V_2, V_3) = d(V_2, V_4) = d(V_3, V_4) = b$.

Рассмотрим грани этого тетраэдра. Треугольники $\triangle V_1V_3V_4$ и $\triangle V_2V_3V_4$ являются равносторонними со стороной $b$, так как все их стороны равны $b$. Две другие грани, $\triangle V_1V_2V_3$ и $\triangle V_1V_2V_4$, являются равнобедренными со сторонами $a, b, b$.

Для того чтобы тетраэдр существовал как объёмное тело, его четыре вершины не должны лежать в одной плоскости. Рассмотрим две равносторонние грани $\triangle V_1V_3V_4$ и $\triangle V_2V_3V_4$, которые имеют общее ребро $V_3V_4$. Пусть $M$ — середина ребра $V_3V_4$. В равностороннем треугольнике медиана является и высотой, поэтому $V_1M \perp V_3V_4$ и $V_2M \perp V_3V_4$. Длины этих медиан (высот) равны: $V_1M = V_2M = \sqrt{b^2 - (b/2)^2} = \sqrt{\frac{3b^2}{4}} = \frac{b\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle V_1V_2M$. Его стороны имеют длины $V_1V_2 = a$, $V_1M = \frac{b\sqrt{3}}{2}$ и $V_2M = \frac{b\sqrt{3}}{2}$. Для существования этого треугольника (а следовательно, и всего тетраэдра) необходимо выполнение неравенства треугольника. Условие того, что сумма двух сторон больше третьей, даёт нам ключевое ограничение: $V_1M + V_2M > V_1V_2$.

Подставляя известные значения, получаем: $\frac{b\sqrt{3}}{2} + \frac{b\sqrt{3}}{2} > a$, что приводит к неравенству $b\sqrt{3} > a$.

Другое неравенство, $V_1V_2 + V_1M > V_2M$, даёт $a + \frac{b\sqrt{3}}{2} > \frac{b\sqrt{3}}{2}$, откуда $a > 0$. Поскольку $a$ является длиной ребра, это условие выполняется по определению. Таким образом, для существования невырожденного тетраэдра с заданными длинами рёбер должно выполняться двойное неравенство $0 < a < b\sqrt{3}$. Если $a = b\sqrt{3}$, то треугольник $\triangle V_1V_2M$ вырождается в отрезок, а все четыре вершины тетраэдра оказываются в одной плоскости, что делает его объём равным нулю. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что для существования пирамиды с заданными параметрами необходимо выполнение неравенства $0 < a < b\sqrt{3}$.