Номер 1.29, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.29. Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равны $S_1$, $S_2$ и $S_3$. Найдите ребра параллелепипеда.

Пусть ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, имеют длины $a$, $b$ и $c$.

Три грани, имеющие общую вершину, являются прямоугольниками со сторонами $(a, b)$, $(b, c)$ и $(c, a)$. Их площади, согласно условию, равны $S_1$, $S_2$ и $S_3$. Это позволяет нам составить систему уравнений:

$a \cdot b = S_1$

$b \cdot c = S_2$

$c \cdot a = S_3$

Для нахождения длин ребер $a$, $b$ и $c$ перемножим все три уравнения:

$(a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (c \cdot a) = S_1 \cdot S_2 \cdot S_3$

$a^2 b^2 c^2 = S_1 S_2 S_3$

$(abc)^2 = S_1 S_2 S_3$

Извлекая квадратный корень, получаем произведение длин ребер (которое также является объемом $V$ параллелепипеда):

$abc = \sqrt{S_1 S_2 S_3}$

Теперь, имея это выражение, мы можем найти длину каждого ребра.

Чтобы найти ребро $c$, разделим полученное произведение на $ab = S_1$:

$c = \frac{abc}{ab} = \frac{\sqrt{S_1 S_2 S_3}}{S_1} = \sqrt{\frac{S_1 S_2 S_3}{S_1^2}} = \sqrt{\frac{S_2 S_3}{S_1}}$

Чтобы найти ребро $a$, разделим произведение на $bc = S_2$:

$a = \frac{abc}{bc} = \frac{\sqrt{S_1 S_2 S_3}}{S_2} = \sqrt{\frac{S_1 S_2 S_3}{S_2^2}} = \sqrt{\frac{S_1 S_3}{S_2}}$

Чтобы найти ребро $b$, разделим произведение на $ca = S_3$:

$b = \frac{abc}{ca} = \frac{\sqrt{S_1 S_2 S_3}}{S_3} = \sqrt{\frac{S_1 S_2 S_3}{S_3^2}} = \sqrt{\frac{S_1 S_2}{S_3}}$

Ответ: Длины ребер параллелепипеда равны $\sqrt{\frac{S_2 S_3}{S_1}}$, $\sqrt{\frac{S_1 S_3}{S_2}}$ и $\sqrt{\frac{S_1 S_2}{S_3}}$.