Номер 1.24, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.24. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Через вершину большего угла А восстановлен перпендикуляр AD к плоскости данного треугольника. Найдите расстояние от точки D до большей стороны треугольника, если $AD=15 \text{ см}$ (рис. 1.14).

Рис. 1.14

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a = 21$ см, $b = 17$ см и $c = 10$ см. Наибольшей стороной является $BC=a=21$ см. В соответствии со свойством треугольника, напротив большей стороны лежит больший угол, следовательно, угол $A$ — наибольший. Это согласуется с условием задачи, по которому из вершины $A$ восстановлен перпендикуляр $AD$ к плоскости треугольника.

Необходимо найти расстояние от точки $D$ до большей стороны треугольника, то есть до стороны $BC$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим этот перпендикуляр как $DK$, где точка $K$ лежит на прямой $BC$. Таким образом, искомая величина — это длина отрезка $DK$.

По условию, $AD$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, то есть $AD \perp (ABC)$. Отрезок $DK$ является наклонной к плоскости $(ABC)$, а $AK$ — её проекцией на эту плоскость. Так как наклонная $DK$ перпендикулярна прямой $BC$ (по нашему построению), то по теореме о трех перпендикулярах её проекция $AK$ также перпендикулярна прямой $BC$. Следовательно, $AK$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$.

Поскольку $AD \perp (ABC)$, то прямая $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AK$. Отсюда следует, что треугольник $ADK$ — прямоугольный с прямым углом $\angle DAK$. По теореме Пифагора для треугольника $ADK$, $DK^2 = AD^2 + AK^2$.

Чтобы найти $DK$, сначала вычислим длину высоты $AK$. Это можно сделать через площадь треугольника $ABC$. Найдем площадь по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Полупериметр $p = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Площадь $S = \sqrt{24(24-21)(24-17)(24-10)} = \sqrt{24 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 14} = \sqrt{(8 \cdot 3) \cdot 3 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 49} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см$^2$.

С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK$.

Подставим известные значения: $84 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot AK$.

Выразим $AK$: $AK = \frac{84 \cdot 2}{21} = \frac{168}{21} = 8$ см.

Теперь мы можем найти искомое расстояние $DK$. Мы знаем катеты прямоугольного треугольника $ADK$: $AD = 15$ см (по условию) и $AK = 8$ см.

По теореме Пифагора:

$DK = \sqrt{AD^2 + AK^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: 17 см.