Номер 1.17, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.17. В трехгранном угле $OABC$ дано: $\angle BOC=90^{\circ}$, $\angle AOB=\angle AOC=60^{\circ}$, $OA=a$. Найдите:

1) расстояние от точки $\text{A}$ до плоскости $BOC$;

2) угол между ребром $\text{OA}$ и плоскостью $BOC$.

Для решения задачи введем трехмерную прямоугольную систему координат с вершиной в точке $O$. Поскольку плоский угол при вершине $O$ грани $BOC$ прямой ($\angle BOC = 90^\circ$), мы можем совместить лучи $OB$ и $OC$ с осями координат. Пусть луч $OB$ совпадает с положительным направлением оси $Oy$, а луч $OC$ — с положительным направлением оси $Oz$. В этом случае плоскость $BOC$ будет совпадать с координатной плоскостью $yOz$, уравнение которой $x=0$.

Пусть точка $A$ имеет координаты $(x_A, y_A, z_A)$. По условию, длина отрезка $OA=a$, что в координатах означает $\sqrt{x_A^2 + y_A^2 + z_A^2} = a$, или $x_A^2 + y_A^2 + z_A^2 = a^2$.

Угол между ребром $OA$ и ребром $OB$ (осью $Oy$) равен $\angle AOB = 60^\circ$. Косинус угла между вектором $\vec{OA}=(x_A, y_A, z_A)$ и единичным вектором оси $Oy$, $\vec{j}=(0, 1, 0)$, вычисляется через скалярное произведение: $\cos(\angle AOB) = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{j}}{|\vec{OA}| \cdot |\vec{j}|} = \frac{x_A \cdot 0 + y_A \cdot 1 + z_A \cdot 0}{a \cdot 1} = \frac{y_A}{a}$. Отсюда $y_A = a \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$.

Аналогично, для угла между ребром $OA$ и ребром $OC$ (осью $Oz$), $\angle AOC = 60^\circ$. Единичный вектор оси $Oz$ - $\vec{k}=(0, 0, 1)$. $\cos(\angle AOC) = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{k}}{|\vec{OA}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{x_A \cdot 0 + y_A \cdot 0 + z_A \cdot 1}{a \cdot 1} = \frac{z_A}{a}$. Отсюда $z_A = a \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$.

Теперь мы можем найти координату $x_A$ из уравнения длины вектора $\vec{OA}$: $x_A^2 + y_A^2 + z_A^2 = a^2$ $x_A^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$ $x_A^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = a^2$ $x_A^2 + \frac{a^2}{2} = a^2$ $x_A^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$ $x_A = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. (Мы выбираем положительное значение $x_A$ без ограничения общности).

Итак, координаты точки $A$ равны $(\frac{a\sqrt{2}}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$.

1) расстояние от точки А до плоскости BOC

Расстояние от точки $A(x_A, y_A, z_A)$ до плоскости $BOC$ (которая является плоскостью $yOz$ с уравнением $x=0$) равно модулю координаты $x_A$. $d = |x_A| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

2) угол между ребром ОА и плоскостью ВОС

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией точки $A(\frac{a\sqrt{2}}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ на плоскость $BOC$ ($yOz$) является точка $H$ с координатами $(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$. Проекцией ребра $OA$ является отрезок $OH$. Искомый угол $\alpha$ — это угол $\angle AOH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOH$, где $\angle AHO = 90^\circ$. Длина гипотенузы $OA = a$ (по условию). Длина катета $AH$ равна расстоянию от точки $A$ до плоскости $BOC$, которое мы нашли в первом пункте: $AH = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Синус угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin(\alpha) = \frac{AH}{OA} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$