Номер 1.23, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.23. Все плоские углы трехгранного угла прямые. Покажите, что грани трехгранного угла попарно перпендикулярны.

Пусть $O$ — вершина трехгранного угла, а лучи $a$, $b$ и $c$ — его ребра. Тогда грани трехгранного угла — это плоскости, проходящие через пары ребер: плоскость $(ab)$, плоскость $(bc)$ и плоскость $(ca)$. Плоские углы трехгранного угла — это углы между ребрами: $\angle(a,b)$, $\angle(b,c)$ и $\angle(c,a)$.

По условию задачи, все плоские углы прямые. Это означает, что:

$\angle(a,b) = 90^\circ$

$\angle(b,c) = 90^\circ$

$\angle(c,a) = 90^\circ$

Из этого следует, что ребра трехгранного угла попарно перпендикулярны: $a \perp b$, $b \perp c$ и $c \perp a$.

Нам нужно доказать, что грани трехгранного угла попарно перпендикулярны, то есть:

плоскость $(ab) \perp$ плоскость $(bc)$

плоскость $(bc) \perp$ плоскость $(ca)$

плоскость $(ca) \perp$ плоскость $(ab)$

Докажем, что плоскость $(ab)$ перпендикулярна плоскости $(bc)$. Для этого воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Рассмотрим ребро $a$. Оно лежит в плоскости $(ab)$. Докажем, что ребро $a$ перпендикулярно плоскости $(bc)$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость $(bc)$ определяется двумя пересекающимися в точке $O$ ребрами $b$ и $c$. Из условия задачи мы знаем, что:

1. Ребро $a$ перпендикулярно ребру $b$ (так как $\angle(a,b) = 90^\circ$).

2. Ребро $a$ перпендикулярно ребру $c$ (так как $\angle(c,a) = 90^\circ$).

Поскольку ребро $a$ перпендикулярно двум пересекающимся ребрам $b$ и $c$, лежащим в плоскости $(bc)$, то ребро $a$ перпендикулярно всей плоскости $(bc)$.

Итак, мы имеем плоскость $(ab)$, которая проходит через прямую (ребро $a$), перпендикулярную плоскости $(bc)$. Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $(ab) \perp$ плоскость $(bc)$.

Аналогично доказывается перпендикулярность и для других пар граней.

- Ребро $b$ лежит в плоскости $(bc)$ и перпендикулярно ребрам $a$ и $c$, которые определяют плоскость $(ca)$. Значит, $b \perp$ плоскости $(ca)$, и следовательно, плоскость $(bc) \perp$ плоскость $(ca)$.

- Ребро $c$ лежит в плоскости $(ca)$ и перпендикулярно ребрам $a$ и $b$, которые определяют плоскость $(ab)$. Значит, $c \perp$ плоскости $(ab)$, и следовательно, плоскость $(ca) \perp$ плоскость $(ab)$.

Таким образом, все грани трехгранного угла попарно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку каждое ребро трехгранного угла перпендикулярно двум другим ребрам, оно перпендикулярно плоскости, образованной этими двумя ребрами. А так как каждая грань содержит ребро, перпендикулярное другой грани, то по признаку перпендикулярности плоскостей, грани попарно перпендикулярны.