Номер 1.16, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.16. Основанием прямого параллелепипеда (все боковые ребра перпендикулярны плоскости основания) является ромб, диагонали которого равны 10 см, 24 см и высота равна 10 см. Найдите:

1) диагонали параллелепипеда;

2) площадь его полной поверхности.

1) диагонали параллелепипеда

Пусть $d_1 = 10$ см и $d_2 = 24$ см — диагонали ромба, лежащего в основании, а $H = 10$ см — высота прямого параллелепипеда.

Диагонали прямого параллелепипеда ($D_1$ и $D_2$) являются гипотенузами прямоугольных треугольников. Катетами этих треугольников служат высота параллелепипеда $H$ и соответствующая диагональ основания ($d_1$ или $d_2$).

Найдем первую диагональ параллелепипеда $D_1$, используя теорему Пифагора: $D_1^2 = d_1^2 + H^2$ $D_1^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$ $D_1 = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ см.

Аналогично найдем вторую диагональ параллелепипеда $D_2$: $D_2^2 = d_2^2 + H^2$ $D_2^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676$ $D_2 = \sqrt{676} = 26$ см.

Ответ: $10\sqrt{2}$ см и $26$ см.

2) площадь его полной поверхности

Площадь полной поверхности параллелепипеда ($S_{полн}$) равна сумме площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

Сначала вычислим площадь основания. Так как основание — ромб, его площадь равна половине произведения диагоналей: $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$ см².

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту ($H$): $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

Для нахождения периметра необходимо найти сторону ромба $a$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, образуя четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты такого треугольника равны $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$, а гипотенуза — сторона ромба $a$.

По теореме Пифагора: $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = (\frac{10}{2})^2 + (\frac{24}{2})^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Отсюда $a = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь найдем периметр основания: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 13 = 52$ см.

Вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 52 \cdot 10 = 520$ см².

Наконец, найдем площадь полной поверхности: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 120 + 520 = 240 + 520 = 760$ см².

Ответ: $760$ см².